高中数学第八章单元能力测试

第八章单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1.如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为()A.25B.35C.105D.55答案C解析把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF为AB和CD所成的角，F为正方体一棱的中点．∴EF＝GF＝52，EG＝2.∴cos∠EGF＝105.2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.8π3B.82π3C．82πD.32π3答案B解析S圆＝πr2＝1⇒r＝1，而截面圆圆心与球心的距离d＝1，∴球的半径为R＝r2＋d2＝2，∴V＝43πR3＝82π3，故选B.3.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.13cm3B.23cm3C.43cm3D.83cm3答案C解析由三视图可知该几何体为三棱锥，如图所示，其中AC＝AD，平面ACD⊥平面BCD，E为CD的中点，则AE⊥平面BCD，且BE＝AE＝2，DC＝2，∴V＝13×12×BE×DC×AE＝13×12×2×2×2＝43cm3，故选C.4．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是()A．①④B．②③C．②④D．①③答案B解析若α⊥β，m∥α，则m与β可能相交、平行或m在平面β内，故①错；m∥α，n∥β，m∥n，则α与β可能平行，可能相交，故④错．故选B.5．(2010·湖北卷)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案C解析对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，此时AB平行于CD，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a，b都平行于平面γ，显然此时直线a，b可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.6.如右图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C解析连结AC、BD交于点O，连结OE，易得OE∥PA.∴所求角为∠BEO.由所给条件易得OB＝62，OE＝12PA＝22，BE＝2，∴cos∠OEB＝12，∴∠OEB＝60°，选C.7.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105答案D解析连结A1C1，交B1D1于O，依题意得，A1C1⊥B1D1，BB1⊥A1C1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D.连结BO，则∠C1BO为所求角，又OC1＝2，BC1＝5，∴sinC1BO＝C1OBC1＝25＝105，选D.8．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.233πB．23πC.736πD.733π答案D解析上底半径r＝1，下底半径R＝2.∵S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π，∴l＝2，∴高h＝l2－(R－r)2＝3，∴V＝13π·3(1＋1×2＋2×2)＝733π.故选D.9．如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有()A．1d1d2B．d1d21C．d11d2D．d2d11答案D解析∵CD∥平面PAB.∴C到平面PAB的距离等于D到平面PAB的距离．过D作DE⊥PA，则DE⊥平面PAB，d1＝DE＝22.B与D到平面PAC的距离相等．设AC∩BD＝O，则平面PDO⊥平面PAC，∴d2等于D到PO的距离，可计算d2＝33，∴d2d11.10．半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足AB→·AC→＝0，AD→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，则△ABC，△ACD，△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为()A．8B．16C．32D．64答案C解析设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝12(ab＋ac＋bc)≤12(a2＋b22＋a2＋c22＋b2＋c22)＝12(a2＋b2＋c2)＝12×4R2＝12×4×42＝32，当且仅当a＝b＝c时取“＝”．11．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°答案C解析由条件，知CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，CD→＝CA→＋AB→＋BD→.∴|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA→，BD→〉＝(217)2，∴cos〈CA→，BD→〉＝－12，〈CA→，BD→〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为()A.124B.118C.19D.112答案B解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，设BP→＝λBD1→，可得P(λ，λ，λ)，再由cos∠APC＝AP→·CP→|AP→||CP→|可求得当λ＝13时，∠APC最大，故VP－ABC＝13×12×1×1×13＝118.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．答案6＋23解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱．则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6，上、下底面面积都为34×22＝3，所以此三棱柱的表面积为6＋23.14．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AA1＝AB＝1，则截面ACC1A1的面积为________；异面直线AD与D1C所成角的余弦值为________．答案324解析截面ACC1A1为矩形．AA1＝1，AC＝3，其面积S＝3；BD＝1，BD1＝2，在△BCD1中，BC＝1，CD1＝2，cos∠BCD1＝24.则异面直线AD与D1C所成角的余弦值为24.15.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F、分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BF与直线AF异面③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有______个．答案2解析将几何体展开拼成几何体(如图)，因为E、F分别为PA、PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．16．直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于______．答案20π解析设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∠ABC＝12(180°－120°)＝30°，AM＝AC2sin30°＝2.因此，R2＝22＋(AA12)2＝5，此球的表面积等于4πR2＝20π.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在下面三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥平面EFG.解析(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×12×2×2×2＝2843(cm3)．(3)证明：如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，连结AD′，则AD′∥BC′.因为E、G分别为AA′、A′D′的中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′.又BC′⊄平面EFG，所以BC′∥平面EFG.18．(本小题满分12分)(2010·新课标全国，文)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝6，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积．解析(1)因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝6，所以HA＝HB＝3.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝6，HD＝HC＝1.可得PH＝3，等腰梯形ABCD的面积为S＝12AC×BD＝2＋3.所以四棱锥的体积为V＝13×(2＋3)×3＝3＋233.19．(本小题满分12分)在几何体ABCDE中，∠BAC＝π2，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB＝AC＝BE＝2，CD＝1.(1)设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；(2)设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE；(3)求几何体ABCDE的体积．解析(1)∵CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，∴CD∥BE.∵CD⊄平面ABE，BE⊂平面ABE，∴CD∥平面ABE.又l＝平面ACD∩平面ABE，∴CD∥l.又l⊄平面BCDE，CD⊂平面BCDE，∴l∥平面BCDE.(2)在△DFE中，FD＝3，FE＝6，DE＝3.∴FD⊥FE.∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AF，又BC⊥AF，CD∩BC＝C，∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，∵EF∩AF＝F，∴FD⊥平面AFE.又FD⊂平面AFD，∴平面AFD⊥平面AFE.(3)∵DC⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，∴DC∥BE∵AB＝AC＝2，且∠BAC＝π2∴BC＝22∴SBEDC＝12(DC＋BE)×BC＝32由(2)知AF⊥平面BCED∴VE－BCDE＝13SBEDC·AF＝13×32×2＝2.20．(本小题满分12分)如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)求证：BF∥平面ACGD；(2)求二面角D­CG­F的余弦值．解析方法一(1)设DG的中点为M，连接AM，FM.则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形．∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AB∥DE，∵AB＝DE.∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，故BF∥平面ACGD.(2)由已知AD⊥平面DEFG，∴DE⊥AD.又DE⊥DG，∴DE⊥平面ADGC.∵MF∥DE，∴MF⊥平面ADGC.在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足