高中数学衔接问题

高中数学衔接问题各位老师：上午好！很高兴今天能够和大家在网上共同就初高中衔接问题进行研讨，今天是一个开始，我们还将在以后很长一段时间内进行这个问题的进一步研讨！初高中衔接问题历来是教学中存在的一个具体的问题，由于课程改革，这种问题现在显得比较突出，并且由于存在一些不定因素，如高考，对高考的要求不是非常清楚等等，因此我们很愿意与大家一起来讨论这个问题.今天，侧重于讨论义务教育的课程标准（教材）与高中课程标准（教材）的衔接问题.衔接问题表现在2个方面，一方面是知识的衔接，另一方面是数学能力与数学思想的衔接.应该特别强调，我提供的意见仅供大家做一个参考，我们希望和大家一起在具体实践中不断地探索，逐步地达成共识！问：在初高中数学学习中需要一直贯彻的数学思想方法都有哪些？答：函数的思想、运算的能力、对图形的认识与空间想象的能力、算法的思想、随机的思想、数形结合的思想方法.问：我使用的是北师大版初中数学教材，高中使用的是人教版教材.现在要求补教材中不学的内容，据说是不补的话，学生上高中会很困难，因为和高中的教材不配套.你认为应该补吗？问：我们这里初中用的是北师大教材，而高中则用的是人教版教材，之间无论从知识的衔接，还是能力的衔接，都存在很多问题，而高中教学时数也很有限，按大纲规定每周只能4课时，那将如何处理这个问题，有没有好的方法，请指教，高考升学率是我们高中老师的生命线，我真担心下批学生怎么教？答：事实上，今天我们在这里主要研讨的就是这个问题.由于您那里目前高中所使用的教材是依据高中《教学大纲》编制的，而它所假定的学生基础是初中的《教学大纲》.所以，基于《课程标准》的初中毕业生既有需要补充的内容，也有学过的内容.这样看来，做一些补充也是必须的.答：初中新课程会使你们的高中教学遇到这样的问题，因为你们的高中教材是在原有的大纲下面编写的，所以还需要根据实际情况在高中教学中作适当的调整，以适应新高中生的实际情况.问：高中生的空间想象能力不足,怎么办?答：这是一个非常现实的问题，尤其是按照以往《教学大纲》的教学规划，学生空间想象力发展的起步稍稍嫌晚了一些，过程也不太合理，因此，就这个年龄的学生而言，也许只能在学习方式上做一些改变.问：学生不擅长数形结合，应该怎样引导？答：这个问题与学生所处的年段有关，是初中学生，还是高中学生，主要表现是什么？理想的情况可能是，在初中：应当是培养数形结合能力的初级阶段，可能更多的是作为认识问题的一种经历（原来还可以换一种方式来表达相同的数学关系、看待同一个数学现象、思考同一个问题），或者解决问题的一种方法（用不同的方法——尝试用数量的方法、图形的方法去解决同一个问题），等等.不过，这里的方法还不是系统的（第一步、第二步、第三步、……）.教学时，可以经常让他们经历一些改变问题（对象）的表现方式——包括用图形来表达数量关系（不一定是几何图形，可以是一般的示意图），或者反之.而到了高中，就可以逐渐过渡到学习一些具体（程序化）的方法，甚至一种自觉的意识（当遇到一个新的现象、问题，甚至完成了一个任务以后，常常愿意换一个角度来看这个现象、问题、任务，包括解决过程）.教学时，一方面要让学生学习一些程序化的方法，另一方面，也应当适当地要求他们对方法本身做一些思考（这个方法的数学原理或依据是什么，可以在哪些场合使用，方法的实质是什么，换了认识方式以后，带来了哪些新的信息，等等）.我想基层的老师都会有这方面的经验，可以从低年级的教学开始，在引入抽像概念的时候多用图来表现，对于每一个“图”尽可能从中读出数学内容，如果我们坚持这样去做就会使学生提高用“图”的自觉性，看“图”的敏感性，和品“图”的水平.问：初中二次函数的教学比以前教材在要求上是提高了还是降低了？答:应该是降低了.只讨论具体的二次函数,不讨论一般的字母抽象的二次函数.问：从研究方法上看（或从其它方面比较），高中的函数与初中的函数有哪些不同点？答：函数是数学中一个基本的研究对象，从小学、初中、高中、大学我们都会接触到有关函数的内容，例如，在小学我们就让学生了解速度、时间、路程之间的关系，虽然没有提到函数的概念，但它实质上就是一个函数关系；又如正比例、反比例关系也是函数关系.在初中阶段函数成为一个重要的内容，到高中这部分内容就更重要了.在大学数学学习中，函数仍然是最基本的研究对象.下面是我们对这部分内容的一些看法，供您做为参考――20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学.克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂.以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合.”高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的一条主线，这条线通向高等数学（特别是分析学），也是高等数学的一条主线.那么，在数学上，应如何认识高中数学课程中的函数？在教学上，应如何整体把握高中阶段函数的教学？学生学完函数内容，应留下什么呢？（一）对函数的认识1、函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型.通过变量与变量之间的关系反映自然规律是我们认识现实世界的重要视角.有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系.有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化.例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化.又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的.这些变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值.具有这种特征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在.例如，汽车的运动，运动时间和速度是有依赖关系的两个变量，在某个时刻，汽车只能有唯一的一个速度.又如，邮局是按邮件的重量收取邮资，邮资与邮件的重量是有依赖关系的两个变量，对同类型具有一定重量的邮件，只能收取唯一确定的邮资.函数正是反映变量与变量之间这种依赖关系的，它是刻画现实世界中自然规律的重要模型.这也是数学联系实际的基础.2、函数是联结两类对象的桥梁.高中阶段，函数的定义为：给定两个实数集合A、B，对集合A的任一元素a，在集合B中存在唯一元素b与之对应，我们称这个对应关系f为集合A到集合B的一个函数关系，简称函数,记作f:AB.这是用映射的观点刻画函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起一座桥梁.3、函数是特殊的图形.在中学阶段所研究的函数都可以看成平面上的一条曲线.因此，从某种意义上说函数是研究曲线的.这是数形结合桥梁之一.实际上，高中数学课程中的数形结合主要有三座“桥梁”：曲线与方程（需要以坐标系为平台），向量，函数.以上三方面是认识函数的三个不同纬度，从这三个方面认识和把握函数，可以更好的理解函数.是学生在高中阶段应留下的东西.（二）中学研究函数的哪些性质.函数是刻画自然界变化规律的基本模型，研究函数主要是研究函数的变化.在高中阶段讨论的函数的“变化”主要就是自变量增加（减少）时，函数是增加还是减少，即单调性.单调性是体现函数变化的最基本的性质.从几何的角度看，函数的单调性反映了函数图像走势的变化规律.高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段.第一阶段，安排在必修1中.要求理解单调性的图形直观，理解单调性的定义，通过大量的具体函数，理解单调性在研究函数中的作用.单调性与函数图形有密切联系，了解了单调性就可以基本上决定函数的形状，反过来，掌握了函数的图形，也就能很好地了解函数的单调性；单调性与不等式联系密切，单调性是用不等式来描述的，反之，具体函数的单调性反映了一些不等关系.在教学中，对具体函数单调性的讨论要把握“度”，基本上限于简单的幂函数.指数、对数、三角函数单调性的证明不作要求，因为，严格证明还是有难度的.此外，对复合函数单调性的讨论也不作要求.第二阶段，安排在选修系列1、2课程的“导数及其应用”中.导数是描述函数变化率的概念，导数概念可以帮助我们对“函数的变化”有进一步了解.在这一部分内容中，要求学生理解导数与单调性的联系：在一个区间，函数在每一点的导数大（小）于零，则函数是递增（减）的；反之，也可以用单调性判断导数的符号.在一个区间，递增（减）函数如果有导函数，每一点的导数大（小）于或等于零.这些结论的证明要用到拉格朗日中值定理，在高中是不要求的.在高中阶段，对严格单调性和单调性的区别不必深究，否则，会因小失大.对于一些对数学有兴趣的同学，教师可以引导学生读一些参考书.周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质.在我们生活中，存在着大量的周期变化的现象.因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的.周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型.用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况.周期性反映了函数图形周而复始的变化.在高中数学课程中，不讨论一般函数的周期性，只对基本的具体三角函数讨论其周期性，例如，正弦、余弦、正切函数的周期性.奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数性质.奇偶性反应了函数图形的对称性质，偶函数的图形是关于y轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的.奇偶性可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律.高中数学课程中，对于一般函数的奇偶性，不做深入讨论，只对基本的具体函数讨论其奇偶性，例如，（列举）简单幂函数的奇偶性.（三）具体函数模型仅仅了解函数的定义，并不能很好地理解函数，理解函数一个重要方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型.在高中阶段，学生应留住哪些函数模型？如何让学生把这些模型留在头脑中，并能帮助思考问题？这是每位教师应该思考的问题.对于好的数学工作者，每一个抽象的数学概念，在他们在头脑中都会有一批具体的“模型”.这是很好的学习数学习惯.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数是基本初等函数，这些函数是最基本的，也是最重要的.还有简单的分段函数，一些有实际背景的函数，等等.这些都是基本的、重要的函数模型.（1）线性函数y=ax+b可以看作最简单的幂函数，它把x轴变成了一条直线；它是函数关系中最常见的，也是最简单的；在很多情况下，在研究比较复杂的函数时，我们常常用它在一点附近来近似表示复杂的函数，“以直代曲”是微分的基本思想；在统计相关分析中，线性函数即线性关系是最基本的.（2）幂函数整数指数幂函数y=xn也是基本的函数，也是好的函数.所谓好，是指它具有任意阶导数，非常的光滑.它们还有一个极为重要的性质，对于任意一个“好的函数”，都可以用整数指数幂函数的代数和来近似地表示，在高等数学中，称为泰勒公式，这是高等数学最重要的结果，它就是建立在整数指数幂函数的基础上的.这也是幂函数重要和基本的原因之一.（3）指数函数、对数函数指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们是用的最多的函数，也是最基本的函数；同时，它们是好函数，它们具有任意阶导数.对数函数（底数大于1）、整数指数幂函数、指数函数（底数大于1），这三类函数都是随着自变量的增加而增加，但是，它们增长的速度是不同的，对数函数最慢，整数幂函数快一些，指数函数最快，在实际中，我们常常分别称为：对数增长，多项式增长，指数增长.这些是刻画增长的最基本的模式.（举例，以2为底的对数、指数、2次幂函数的增长情况比较）（4）三角函数周期现象是现实世界最基本的现象，三角函数是刻画周期现象最基本的模型，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等.很多现实生活中的周期现象都可以直接用这些三角函数表示.三角函数也是最基本的周期函数，通过三角函数可以帮助我们更好地理解周期函数.三角函数也都是好的函数，具有任意阶导数；三角函数的代数和可以用来表示更多的函数（包括那些好的和不好的函数，如，不连续的函数），构成三角级数的理论，它是数学中分析学的基本内容，它还是重要的一个数学分支——调和分析、小波分析的基础，小波分析是图像压缩技术的基础，具有极为广泛的应用.在向量的学习中，我们引入了“基