高中数学复习专题：函数的值域

函数的值域【基础知识】1.在函数)(xfy中与自变量x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域..函数的值域与最值均在定义域上研究.函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化范围.2.函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．【规律技巧】1.函数值域的求法:利用函数的单调性:若)(xf是],[ba上的单调增(减)函数,则)(af,)(bf分别是)(xf在区间],[ba上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如2(0)yaxbxca型,用此种方法,注意自变量x的范围.利用三角函数的有界性,如sin[1,1],xcos[1,1]x.利用“分离常数”法:形如y=axbcxd或2axbxeycxd(ca,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如yaxbcxd型,可用此法求其值域.利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域2.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除.形如21yaxbx的函数的值域的求法：可令cos(0)x或sin()22x，利用三角换元求解，如果是更复杂的式子，如：2yaxbcmnx，可令cos(0)mxn，2yaxbcmnx，可令tanmxn利用三角公式或其他方法解决.【典例讲解】1、已知函数0,cos0,12xxxxxf则下列结论正确的是（）A.xf是偶函数B.xf是增函数C.xf是周期函数D.xf的值域为,1【答案】D2、设函数0,0,22xxxxxxf，若2aff，则实数a的取值范围是______.【答案】2a【解析】由题意202fafafa，或202fafa，解得2fa，当202aaa或202aa，解得2a．3、设],,[,),,(,)(2axxaxxxf若4)2(f，则a的取值范围为_____________.【答案】(,2]【解析】由题意，若2a，则(2)2f不合题意，因此2a，此时[,)xa时，2()fxx，满足(2)4f.【方法规律】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.【解题技巧】求分段函数的值域，关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分段函数的定义即可解决。求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在另一区间上的解析式，常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等.画分段函数的图象要特别注意定义域的限制及关键点（如端点、最值点）的准确性.分段函数的性质主要包括奇偶性、单调性、对称性等，它们的判断方法有定义法、图象法等.总而言之，“分段函数分段解决”，其核心思想是分类讨论，如第14题，即通过0x或0x分类讨论，从而求解.【针对训练】1、函数21yx的定义域是(,1)[2,5)，则其值域是（）A.1(,0)(,2]2B.(,2]C.1(,)[2,)2D.(0,)【答案】A2、若函数()(0,1)xfxaaa在2,1上的最大值为4，最小值为m，则m的值是.【答案】12或1163、已知函数6,2,12)(xxxf，试判断此函数)(xf在2,6x上的单调性，并求此函数)(xf在2,6x上的最大值和最小值.【答案】最大值和最小值分别为2和524、已知函数()log(1)log(3)(01)aafxxxa．（1）求函数()fx的定义域；（2）若函数()fx的最小值为4，求实数a的值．【答案】（1）31xx；（2）22【练习巩固】1、已知函数2()21,()1xfxgxx，构造函数()Fx的定义如下：当|()|()fxgx时，()|()|Fxfx，当|()|()fxgx时，()()Fxgx，则()Fx()A．有最小值0，无最大值B．有最小值－1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．无最大值，也无最小值【答案】B2、方程083492sinsinaaaxx有解，则a的取值范围（）A.0a或8aB.0aC.3180aD.2372318a【答案】D3、若函数6,2,3log,2,axxfxxx（0a且1a）的值域是4,，则实数a的取值范围是．【答案】(1,2]4、函数xy416的值域是.【答案】)4,0[