高中数学必修1函数及其表示题型总结

1函数及其表示考点一求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是对数函数，真数应大于零。⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式Card(A)=m,card(B)=n,m,nN,则从A到B的映射个数为nm。简单说成“前指后底”。方法技巧清单方法一函数定义域的求法1．（2009江西卷文）函数234xxyx的定义域为（）A．[4,1]B．[4,0)C．(0,1]D．[4,0)(0,1]解析由20340xxx得40x或01x,故选D.2．（2009江西卷理）函数2ln(1)34xyxx的定义域为()A．(4,1)B．(4,1)C．(1,1)D．(1,1]解析由21011141340xxxxxx.故选C3.（2009福建卷文）下列函数中，与函数1yx有相同定义域的是()A.()lnfxxB.1()fxxC.()||fxxD.()xfxe解析由1yx可得定义域是0.()lnxfxx的定义域0x；1()fxx的定义域是x≠0；()||fxx的定义域是;()xxRfxe定义域是xR。故选A.4.（2007年上海）函数3)4lg(xxy的定义域是．答案34xxx且5.求下列函数的定义域。①y=22xx.②y=xxx12.③y=xx116.已知函数f(x)的定义域为,51，求函数F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。方法二函数概念的考察1.下列各组函数中表示同一函数的是（）A.y=55x和xy2B.y=lnex和exyln2C.3131xyxxxy和D.xxyy001和2．函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个数为A.0个B.1个C.0个或1个D.不能确定3．已知函数y=22x定义域为2,1.0,1，则其值域为方法三分段函数的考察ⅰ求分段函数的定义域和值域2x+2x0,11求函数f(x)=x21x2,0的定义域和值域3x,22（2010天津文数）设函数2()2()gxxxR，()4,(),(),().(){gxxxgxgxxxgxfx则()fx的值域是（A）9,0(1,)4（B）[0,)（C）9[,)4（D）9,0(2,)4【解析】依题意知22222(4),2()2,2xxxxfxxxxx，222,12()2,12xxxfxxxx或ⅱ求分段函数函数值3．（2010湖北文数）3.已知函数3log,0()2,0xxxfxx，则1(())9ffA.4B.14C.-4D-14【解析】根据分段函数可得311()log299f，则211(())(2)294fff，所以B正确.ⅲ解分段函数不等式4.（2009天津卷文）设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是（）A.),3()1,3(B.),2()1,3(C.),3()1,1(D.)3,1()3,(答案A解析由已知，函数先增后减再增当0x，2)(xf3)1(f令,3)(xf解得3,1xx。当0x，3,36xx故3)1()(fxf，解得313xx或5．（2009天津卷理）已知函数0,40,4)(22xxxxxxxf若2(2)(),fafa则实数a的取值范围是A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)解析：由题知)(xf在R上是增函数，由题得aa22，解得12a，故选择C。36.（2009北京理）若函数1,0()1(),03xxxfxx则不等式1|()|3fx的解集为____________.解析（1）由01|()|301133xfxxx.（2）由001|()|01111133333xxxxfxx.∴不等式1|()|3fx的解集为|31xx，∴应填3,1.7。（2010天津理数）若函数f(x)=212log,0,log(),0xxxx,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）【答案】C由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。2112220a0()()logloglog()log()afafaaaaa或001-10112aaaaaaa或或【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。ⅳ解分段函数方程8．（2009北京文）已知函数3,1,(),1,xxfxxx若()2fx，则x..w解析5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的考查.由31log232xxx，122xxx无解，故应填3log2.方法四求函数的解析式1．求下列函数的解析式①已知).(,1133xfxxfxx求②).(lg12xfxxf，求已知③已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).④已知f(x)满足.312xxfxf求f(x).方法五函数图像的考察41.(2009山东卷理)函数xxxxeeyee的图像大致为().解析函数有意义,需使0xxee,其定义域为0|xx,排除C,D,又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee,所以当0x时函数为减函数,故选A.2.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为vv乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01tt和，下列判断中一定正确的是（）A.在1t时刻，甲车在乙车前面B.1t时刻后，甲车在乙车后面C.在0t时刻，两车的位置相同D.0t时刻后，乙车在甲车前面解析由图像可知，曲线甲v比乙v在0～0t、0～1t与x轴所围成图形面积大，则在0t、1t时刻，甲车均在乙车前面，选A.3.（2009江西卷文）如图所示，一质点(,)Pxy在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点(,0)Qx的运动速度()VVt的图象大致为()ABCD解析由图可知，当质点(,)Pxy在两个封闭曲线上运动时，投影点(,0)Qx的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A错误；质点(,)Pxy在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点(,)Pxy在开始时沿直线运动，故投影点(,0)Qx的速度为常数，因此C是错误的，故选B.4（2010山东理数）(11)函数y=2x-2x的图像大致是1xy1OAxyO11BxyO11Cxy11DOO()VttO()VttO()VttO()VttyxO(,)Pxy(,0)Qx5【解析】因为当x=2或4时，2x-2x=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x-2x=1404，故排除D，所以选A。5（2010安徽文数）设0abc,二次函数2()fxaxbxc的图像可能是【解析】当0a时，b、c同号，（C）（D）两图中0c，故0,02bba，选项（D）符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a或0a两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.方法六映射概念的考察1．设f:xx2是集合A到集合B的映射，如果B=2,1，则A∩B=（）A.B.1C.或2D.或12集合M=cba,,，N=1.0,1映射f:NM满足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f:NM的个数是（）A.4B.5C.6D.73集合M=cba,,到集合N=1.0,1一共有个不同的映射。方法七函数值域和最值的求法1．利用二次函数在有限区间上的范围求值域求函数y=562xx的值域2．分离常数法求函数y=213xx的值域3．换元法求函数y=xx14的值域4．数形结合法求函数y=41xx的值域5．判别式法求函数y=12222xxxx的值域方法八函数奇偶性和周期性的考察1.（2009全国卷Ⅰ理）函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则()A.()fx是偶函数B.()fx是奇函数6C.()(2)fxfxD.(3)fx是奇函数答案D解析(1)fx与(1)fx都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx，函数()fx关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数()fx是周期2[1(1)]4T的周期函数.(14)(14)fxfx，(3)(3)fxfx，即(3)fx是奇函数。故选D2.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则f（2009）的值为()A.-1B.0C.1D.2答案C解析由已知得2(1)log21f,(0)0f,(1)(0)(1)1fff,(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff,(4)(3)(2)0(1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）=f（5）=1,故选C.3.（2009江西卷文）已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff的值为（）A．2B．1C．1D．2答案C解析1222(2008)(2009)(0)(1)loglog1ffff,故选C.方法九函数奇偶性和对称性考察1.（2009全国卷Ⅱ文）函数22log2xyx的图像（）（A）关于原点对称（B）关于主线yx对称（C）关于y轴对称（D）关于直线yx对称答案A解析由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。2．（2010重庆理数）(5)函数412xxfx的图象A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称解析：)(241214)(xfxfxxxx)(xf是偶函数，图像关于y轴对称方法十函数奇偶性和单调性的考察1.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,则7().A.(25)(11)(80)fffB.(80)(11)(25)fffC.(11)(80)(25)fffD.(25)(8