高中数学必修2-3第三章31回归分析的基本思想及其初步应用

第三章统计案例3．1回归分析的基本思想及其初步应用1．问题导航(1)回归分析的含义是什么？有哪些基本步骤？线性回归模型怎样用表达式表示？产生随机误差的原因是什么？(2)回归方程中a^与b^怎样求解？(3)刻画回归效果的方式有哪些？2．例题导读(1)例1由一些数据求出线性回归方程，利用所求方程预报女大学生的体重．(2)例2由一些数据求出非线性回归方程．1．回归分析回归分析是对具有________相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是________画出两个变量的散点图，________求回归方程，并用回归方程进行预报．2．线性回归模型(1)在线性回归方程y^＝a^＋b^x中，b^＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2，a^＝________y－－b^x－，其中x－＝________1n∑ni＝1xi，y－＝________1n∑ni＝1yi，(x，y)称为________样本点的中心，回归直线过样本点的中心．(2)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中e称为________随机误差，自变量x称为________解释变量，因变量y称为________预报变量．3．刻画回归效果的方式方式方法计算公式刻画效果R2R2＝________1－R2越________接近于1，表示回归的效果越好∑ni＝1（yi－y^i）2∑ni＝1（yi－y－）2残差图e^i称为相应于点(xi，yi)的残差，e^i＝________yi－y^i残差点________比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度________越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高残差平方和∑ni＝1(yi－y^i)2残差平方和越________小，模型的拟合效果越好1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．()(2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．()(3)利用线性回归方程求出的值是准确值．()答案：(1)×(2)√(3)×2．散点图在回归分析中的作用是()A．查找个体个数B．比较个体数据大小关系C．探究个体分类D．粗略判断变量是否相关答案：D3．变量x与y之间的回归方程表示()A．x与y之间的函数关系B．x与y之间的不确定性关系C．x与y之间的真实关系形式D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合答案：D4．已知线性回归方程y^＝0.75x＋0.7，则x＝11时，y的估计值为________．答案：8.951．对线性回归方程的理解(1)从参数计算公式a^＝y－－b^x－中，我们可以看出，回归直线方程y^＝b^x＋a^一定经过点(x－，y－)．我们把(x－，y－)称为样本点的中心，因此，回归直线必过样本点的中心．(2)线性回归方程y^＝b^x＋a^中的截距a^和斜率b^都是通过估计而得来的，存在着误差，这种误差可能导致预测结果的偏差．(3)线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^表示x增加1个单位时，y的平均变化量为b^，而a^表示y不随x的变化而变化的量．(4)可以用线性回归方程y^＝b^x＋a^预测在x取某一个值时y的估计值．2．随机误差e产生的主要原因(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差．(2)忽略了某些因素的影响．影响变量y的因素不只是变量x，可能还包括其他因素(例如，在描述身高和体重的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响)．(3)存在观测误差．由于测量工具等原因，导致y的观测值产生误差．3．残差图中的可疑数据的特征表现(1)个别样本点的残差过大，即大多数的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，而个别残差点偏离该区域过于明显，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误，如果采集数据有错误，那么需要纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，那么需要寻找其他原因．(2)残差图有异常，即残差呈现不随机的规律性，此时需要考虑所采用的线性回归模型是否合适．线性回归方程(2015·东莞高二检测)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积(m2)1109080100120销售价格(万元)3331283439(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．[解](1)数据对应的散点图如图所示：(2)x－＝15∑5i＝1xi＝15(110＋90＋80＋100＋120)＝100，y－＝15∑5i＝1yi＝15(33＋31＋28＋34＋39)＝33.∑5i＝1x2i＝1102＋902＋802＋1002＋1202＝51000，∑5i＝1xiyi＝110×33＋90×31＋80×28＋100×34＋120×39＝16740.所以b^＝∑5i＝1（xi－x－）（yi－y－）∑5i＝1（xi－x－）2＝∑5i＝1xiyi－5x－y－∑5i＝1x2i－5x－2＝16740－5×100×3351000－5×1002＝0.24，a^＝y－b^x＝33－0.24×100＝9.所以线性回归方程为y^＝b^x＋a^＝0.24x＋9.(3)据(2)，当x＝150m2时，销售价格的估计值为：y^＝0.24×150＋9＝45(万元)．1．求线性回归方程的三个步骤(1)算：根据数据计算x，y，∑ni＝1x2i，∑ni＝1xiyi.(2)代：代入公式求b^，a^的具体数值．(3)求：由上面的计算结果求方程y^＝b^x＋a^.2．求线性回归方程的三个关键点扫一扫进入91导学网()线性回归方程1．(2015·南昌高二检测)已知x，y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析，y与x线性相关，且y^＝0.95x＋a^，则a^的值等于()A．2.6B．6.3C．2D．4.5解析：选A.因为x＝14(0＋1＋3＋4)＝2，y＝14(2.2＋4.3＋4.8＋6.7)＝4.5.而回归直线方程过样本点的中心(2，4.5)，所以a^＝y－0.95x＝4.5－0.95×2＝2.6.线性回归分析为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求线性回归方程；(2)求出R2；(3)进行残差分析．[解](1)散点图如图．x＝16(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，y＝16(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，∑6i＝1x2i＝2275，∑6i＝1xiyi＝1076.2，计算得，b^≈0.183，a^≈6.285，所求回归直线方程为y^＝0.183x＋6.285.(2)列表如下：yi－y^i0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－y－2.24－1.37－0.540.411.412.31所以∑6i＝1(yi－y^i)2≈0.01318，∑6i＝1(yi－y－)2＝14.6784.所以，R2＝1－0.0131814.6784≈0.9991，回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．“相关指数R2、残差图”在回归分析中的作用：(1)相关指数R2是用来刻画回归效果的，由R2＝1－∑ni＝1（yi－y^i）2∑ni＝1（yi－y）2可知，R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报的精度也越高．2．已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．解：x－＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y－＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i＝1x2i＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，∑5i＝1xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b^＝∑5i＝1xiyi－5x－y－∑5i＝1x2i－5x－2＝620－5×18×7.41660－5×182＝－1.15.a^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求回归直线方程是y^＝－1.15x＋28.1.列出残差表：yi－y^i00.3－0.4－0.10.2yi－y4.62.6－0.4－2.4－4.4所以，∑5i＝1(yi－y^i)2＝0.3，∑5i＝1(yi－y－)2＝53.2，R2＝1－∑5i＝1（yi－y^i）2∑5i＝1（yi－y－）2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好．非线性回归分析(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中wi＝xi，w－＝18i＝18wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为[解](1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程．解：由数值表可作散点图如图，根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y^＝kx，令t＝1x，则y^＝kt，原数据变为：t4210.50.25y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下：itiyitiyit2i1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.0625∑7.753694.2521.3125所以t＝1.55，y＝7.2.a^＝y－b^t≈0.8.所以y^＝4.1344t＋0.8.所以y与