高中数学解题方法谈圆锥曲线三大难点解读

用心爱心专心1圆锥曲线三大难点解读高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略．难点一、最值与定值（定点）问题圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点．最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解．定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）．例1（江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0)xyQabab的右焦点(0)Fc，，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于AB，两点，P是线段AB的中点．（1）求点P的轨迹H的方程；（2）在Q的方程中，令21cossina，2sin0b≤，确定的值，使原点距椭圆Q的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D．当直线m绕点F转动到什么位置时，ABD△的面积最大？分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB的斜率是否存在，注意到AB与PF共线，得方程为222220bxaybcx；在第（2）问中，由2a、2b不难得到满足要求的1c，为避免讨论直线m的斜率是否存在，可设m的方程为1xky，再利用三角函数求出，ABD△的面积用AB，纵坐标可表示为1212Syy，当直线m垂直于x轴时，ABD△的面积最大．点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高．例2（全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线24xy的焦点为F，AB，是抛物线上的两动点，且(0)AFFB．过AB，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（1）证明FM·AB为定值；（2）设ABM△的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值．用心爱心专心2简解：（1）(01)F，，设点AB，的横坐标为12xx，，则过点AB，的切线分别为2111()42xxyxx，2222()42xxyxx，结合AFFB，求得0FMAB为定值；（2）0FMAB，则ABM△的面积331124222FMABS≥．难点二、求参数范围（或值）问题求参数范围问题的求解策略是：根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组），利用线性规划得出参数的取值范围．有时候需要研究由题设条件列出的目标函数的值域来确定参数的变化范围．例3（陕西卷理21）如图2，三定点(21)A，、(01)B，、(21)C，；三动点DEM，，满足ADtAB，BEtBC，DMtDE，[01]t，．（1）求动直线DE斜率的变化范围；（2）求动点M的轨迹方程．解：（1）设()DDDxy，，()EEExy，，()Mxy，．由ADtAB，知(21)(22)DDxyt，，，即2221.DDxtyt，同理221.EExtyt，∵12EDDEEDyyktxx，且[01]t，，∴[11]DEk，；（2）∵DMtDE，即2(2221)(242)xtytttt，，．∴22(12)(12)xtyt，，消去参数t，得24xy．∵[01]t，，∴2(12)[22]xt，．故24xy，[22]x，．点评：本题主要考查平面向量基本定理、斜率、轨迹等知识，以及依靠不变量（定点坐标和不变的向量共线）与变量的关系相互转化，综合运用各种知识解决问题的能力．难点三、存在与对称性问题存在与对称性试题是近几年高考大力推行改革与探索的结果．存在性问题的求解策略是：一般先假设某数学对象存在，按照合情推理或计算，得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设，有时也可由特殊情况探索可能的对象，作出猜用心爱心专心3想，然后加以论证．对称性问题的求解策略是：结合轴对称或中心对称．考虑斜率与中点或向量的数量积（可避开斜率存在性的讨论），常用“设而不求”、待定系数法等方法解决问题．例4（湖南卷理21）如图3，已知椭圆221:143xyC，抛物线22:()2(0)Cympxp，且1C、2C的公共弦AB过椭圆1C的右焦点．（1）当ABx⊥轴时，求mp，的值，并判断抛物线2C的焦点是否在直线AB上；（2）是否存在mp，的值，使抛物线2C的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的mp，的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当ABx⊥轴时，0m，直线AB的方程是1x，点A为312，或312，．代入抛物线方程，得98p．此时2C的焦点为9016，，且焦点不在直线AB上；（2）设11()Axy，、22()Bxy，，2C的焦点2pFm，，弦AB的两端点在抛物线上，也在椭圆上，所以1212112222ABxxpxx，即122(4)3xxp．由（1）知12xx，2p，故22ABmkp．直线AB的方程是2(1)2myxp，则124(1)3(2)mpyyp．因AB，在1C上，即2211222234123412xyxy，，两式相减，得211221123()4()yyxxxxyy，用心爱心专心4即223(4)(2)16(1)ppmp．①又AB，在2C上，即211222()2()2ympxympx，，两式相减，得21122122xxyympyy，即223(2)1610ppmp．②由①、②，得2320320pp，解得43p或8p（舍）．由43p，得63m或63m．故满足条件的mp，存在，且63m或63m，43p．点评：此题中抛物线的顶点不在原点，公共弦AB既要与抛物线联系，也要用到椭圆的焦点弦，特别是把存在与对称性结合在一起，使难度和运算量都大大增加，解决问题需要有很强的逻辑推理能力和运算能力．