高中数学教材中某些细节改进初探1

1高中数学教材中某些细节改进初探无为一中詹志刚摘要：本文就高中数学教材中的一些细节方面进行改进的必要性及如何改进作了初步探索，以期对高中数学教学有所裨益。关键词：教材细节改进从这一轮新课改启动至今，安徽省高中数学一直在使用人教A版教材。这套教材与课改之前的老教材相比有着较为显著的变化，在结构上，将原来教材的内容体系打散并重新划分组合，使之成为各个模块，称为必修模块和选修模块，这些模块本身又由不同的部分组成。在难度要求上，新教材与老教材也有一定的区别。新教材中删除了一些概念提法，降低了一些难度要求，简化了一些定理结论，从而起到了对原有教材进行“瘦身”的效果。这样做的初衷是改进原有的基础教育模式，引入新的教育和教学理念，培养与新时代相适应的人才。例如校本课程理念的引进和开发推广就是这方面的一种体现。但是，对于高中数学新教材，笔者在多年的教学中发现了一些个人认为有必要加以改进的细节之处。这些细节问题有的在老教材中本已存在，以下笔者就从必修和选修的各个模块中依次加以列举，并说明笔者个人对于如何改进的具体建议。一、必修1部分这部分有两个细节值得关注和改进：2一是关于反函数的问题。这一概念与老教材相比被严重弱化了，其正面作用是减负，但其负面作用却不容忽视，它支解了学生对函数和映射本质的完整认识和理解，割断了许多函数之间原有的内在联系。建议以某种形式适当予以强化和回归。二是同底的指数函数与对数函数的图像交点问题。这一问题在教材中被“巧妙”地回避了！由于反函数知识点的近乎被“消灭”，所以教材中没有出现同底的指数函数和对数函数图象交点问题。但是在教学中学生往往会遇到在同一坐标系中指数函数和对数函数图象交点问题，这就没法再去“回避”了，特别是在学习第三章函数的应用时，常会出现函数零点问题，而数形结合的解法运用就常涉及图象之间的交点问题。对于y=ax和y=logax，当0﹤a﹤1时图象交点还比较直观明显，对于a﹥1时，老教材中长期使用的只有一种情形的图象。这往往误导学生认为在a﹥1时，y=ax与y=logax图象没有交点！事实上，它们不仅可能有交点，还可以有不止一个交点，如图1：（从左向右，底数a越来越向1靠近）（图1）3该结论应该在“复活”反函数知识点的基础上加以简单说明，其详细理由在高二学完导数之后学有余力的学生可以继续进行探究。二、必修2部分该部分教材中有一节就是第二章2.1.2空间直线与直线之间的位置关系，其中“异面直线”这个本就抽象的概念，教材的处理在细节上过于笼统。这里应该让学生从两个方面去理解和掌握：一是概念的理解。教材上的定义是“不同在任何一个平面内两条直线，这一定义科学而严谨，但对初学者来说太抽象了。如果换一种说法：异面直线是空间中这样的两条直线：它们既没有公共点（不相交，但可能平行？）又方向不同（不可能平行！）。这样学生自己就可以在脑海中展开想象的翅膀，勾划出一对对鲜活的异面直线了！二是在具体问题中如何判断两条直线异面。异面关系的判定在解题中常会碰到，运用定义显然缺乏操作性，因此一个简便易行的判定工具（方法）就显得十分重要。有这样一个判定异面直线的结论：经过平面外一点和平面内一点的直线与该平面不过此点的直线是异面直线。这个结论用反证法易于证明，学生也能接受。在异面直线这部分，作出以上两点的改进将大大降低这个知识点的难度，为后续学习打下更加扎实的基础。三、必修4部分：在这个模块中，笔者认为有三处细节需要改进：4一是关于弧度概念的引入有待改进。教材上对1弧度的定义是这样的：当弧长等于半径时，该段弧所对的圆心角称为1弧度的圆心角。这样一种定义是完全符合科学性和严谨性要求的，笔者在一开始的教学中也是这样去教，但是发现绝大多数学生对这个定义有一种“丈二和尚摸不着头脑”的感觉，其核心是：为什么弧长与半径的比就表示圆心角的大小——弧度？一般地，任何新知识的学习都必须以一定的旧有知识作为基础。因此，结合初三圆的有关知识，从弧长公式角度探究弧长半径和圆心角大小（角度制下）的紧密关系，从而提示圆心角大小n°与弧长和半径之比的实质联系，让学生对弧度制的理解从抽象到具体，从陌生到熟悉，从而解决了这一教学中的难题。具体的做法如下：设∠AOB和∠A1B1C1是两个同心圆上的同一个圆心角，其大小为n°，这两圆半径分别为R和R1，弧AB和弧A1B1长分别为L和L1，则由初中所学的弧长公式可得：L＝180RnL＝1801Rnn＝180·RLn＝180·11RL即n=180·RL=180·11RL这一结果揭示了一个事实，即：圆心角的大小是与其所对的弧长与半径的比成正比的，因此，弧长与半径的比值的大小可以准确反映圆心角的大小，从而引入圆心角的另一种度量——弧度，它等于弧长与半径的比。二是关于函数y=Asin(x)的图象变换。教材中只给出了一种图象变换方法，即y＝sinx→y=sin(x)→y=sin(x)→y=A5sin(x)，而另外一种变换方法即y=sinx→y=sinx→y=sin(x)→y=Asin(x)则未予介绍。虽然一般老师在教学中都会加以补充，但是作为权威性代表的教科书中应有所体现。三是关于平面向量基本定理的说明，教材上只有一种情形的图示。笔者在教学实践中发现，由于教材上只讲了一种向量p在基向量a，b所在的角形区域内的情形，遇到其他情形往往就不会作图了（指用基底表示有关向量）。笔者认为，作为教材应该把四种基本的情形都并重地加以展示，这会在最短的时间里使学生学会平面向量基本定理的应用。下图2展示了这四种基本情形：（图2）若令po＝xAo+yBo，则在①～④中分别有x＞ox＜ox＞ox＜oy＞oy＞oy＜oy＜o对于以上四种情形，教材可以以第一种情形作为范例分析，用一6组基底表示某个向量时，当然要强调该向量在两个基向量所在直线上的分解方法。其余三种情形作为思考题留给学生自己去动手探究。经过这样一个过程，学生对平面向量基本定理的核心——用已知基向量进行分解表示，从而使问题得以解决的具体操作过程，有了全面深刻的认识、理解、体会和掌握。从某种角度来说，平面向量基本定理的理解和运用其实就是正确地利用基向量作出相应的平行四边形。四、必修5部分这部分教材上需要改进的细节笔者认为在第一章解三角形部分。具体来说就是正弦定理和余弦定理的相互关系这一块。有人也许会说，正弦定理和余弦定理本来就是两个不同的结论，也有着各自的适用场合，此话不假。但是恰恰有一种情形是两者都可以使用的，那就是在三角形ABC中，已知两边b、c和其他一边所对的角B解三角形。若运用正弦定理可得Bbsin=CcsinsinC=bc=sinB，再根据角B及边b、c的大小判断出解的情况。若运用余弦定理，可设a=x，则可得b2＝b2＋x2-2cxcosB，这是关于x的一元二次方程，其解的情形就对应着该三角形解的情形。对于初学者来讲，除了弄清正弦定理和余弦定理本身外，若能进一步了解二者的上述联系，则对解三角形中三角形解的个数问题会有更加深刻的理解，从而对正、余弦定理的认识更加全面透彻，这将使学生在解题中对于种种方法的应用更加灵活。除了上面提到的这些细节之外，笔者认为在日常教学中，对某些专有名词进行字面意义上的诠释，往往能起到化抽象为形象，变陌生7为熟悉的效果。例如高中数学中“导数”这一章，曾经有很多学生在新课还没开始时就问：老师，什么是导数？那么如果告诉他们导数就是“瞬时变化率”之类的，可以肯定，说了等于没说。其实导数这个名词是个泊来品，是洋人先弄出来的（牛顿，莱布尼兹等人），后来是由咱们国家的人翻译过来的，英文是derivative。把它翻译成“导数”的人笔者认为真的是很了不起！因为他翻译得简洁而精准，更不是什么音译，而是有着实实在在的汉语字面上的含义。笔者当时跟学生是这样解释的：从字面上讲，导者，导向也，就是趋势的意思。导数就是从数量变化的角度描述函数的变化趋势，故称为导数。这样解释虽然算不上严格，但是笔者认为，当初翻译这一名词的人之所以用的“导”字而非其他什么字，其用心也一定是如此吧。结束语：以上关于高中数学教材中的一些细节问题仅仅是笔者本人的一点浅见。此轮新课改推行至今，肯定有很多地方值得我们每个从教者去思考去探究。而随着今年国家教育部收回一些省市的高考命题权的正式实施，这是否也意味着接下来对高中数学教材的调整又将展开？其实不仅是上述细节问题笔者认为值得改进，其它一些知识点有的被弱化，甚至有的被“消灭”等做法，笔者认为这都不利于将来上大学读理工科的学生的后续学习，如余切、正、余割的消失，复数中复数三角形式及运算的消灭等等。当然本轮新课改不乏许多亮点，任何改革也并非一蹴而就，需要的是个反复调整完善的过程。期待高中数学教材能随着改革推进日臻完美。