高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生用图形计算器解决三次函数单调性问题

1辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生用图形计算器解决三次函数单调性问题【研究目的】在高中数学的学习和研究中，我们每天都在和函数打交道．本文利用图形计算器图像并结合导数研究三次函数单调性问题，从而加深对三次函数的理解，提高数学学习的兴趣．【研究过程】1．从特殊三次函数y＝x3＋3x2入手，用计算器作图，观察单调性，求出极值，并通过导数验证结果．2．利用动态图绘制y=x3＋Cx2（C0，x为变量）的图像，研究单调性．3．利用动态图绘制y=x3＋Dx（D0，x为变量）的图像，研究单调性．4．用导数验证上述结论．5．总结，得出相关结论．【研究步骤】图像对于解决函数问题的最大特点就是直观，它可以形象地展现出函数的单调性，极值点，增减速度等信息，而写在纸上的函数式不能直观地说明一切．现在让我来举一个例子．我现在要研究三次函数y=x3+3x2的单调性．首先，打开GRAPH（图1-1）．图1-1这个函数输入到我的卡西欧fx-9860G上（图1-2），然后调节画面区域（图1-3），绘制图像（图1-4）．图1-22图1-3图1-4根据图像，我们看到y=x3+3x2这个函数先单调增，然后单调减，最后又单调增．我们用计算器运算极大极小值（图1-5、1-6）．x=-2时取得极大值4，x=0时取得极小值0．图1-5图1-6通过计算器精确运算，该函数在区间（－∞，－2）和（0，＋∞）上单调递增，在区间（－2，0）上单调递减．对y=x3+3x2求导：y’=3x2+6x，即x=-2和x=0是该函数的极值点，在（－∞，－2）和（0，＋∞）导数大于0，函数单调递增；在（－2，0）导数小于0，函数单调递减．这和计算器绘制的图像相符合．接下来，我在菜单中选择DYNA（动态图）（图2-1）．图2-1然后输入y=x3+Cx2(C0)（图2-2）．3图2-2选择C的动态范围（图2-3），此处我选择的是从1到5，步长为1．图2-3然后，按下EXE绘制图像（图2-4、2-5）．此处我只展现C=3和C=5时的图像．图2-4图2-5我们发现，图像总是经过（0，0）点，并且当C增大时，极大值点向x轴负方向移动，且极大值变大．我对y=x3＋Cx2求导，y’=3x2＋2Cx，解得x=0或x=－2C3．x=0时，极小值为0，x=－2C3时，极大值是4C327．我们发现，当C越大的时候，极大值点向x轴负方向移动，且极大值变大，符合函数图像展现出的结果．接下来，在动态图中输入y=x3+Dx（D0）（图3-1）．4图3-1同样，调节D的动态范围（图3-2），此处我选择的是从1到5，步长为1．图3-2然后，按下EXE绘制图像（图3-3）．此处我只展现D=1时的图像，通过D取其他值时的虚线可以看出，y=x3+Dx这个函数是单调递增的．图3-3对y＝x3＋Dx求导，y’＝3x2＋D，发现x取任何值时，导数永远大于0，所以函数y＝x3＋Dx（D＞0）在R上单调增．符合计算器绘制的图像的结果．【心得与体会】通过以上实例，我们清楚的看到利用图形计算器可以方便、快捷地得到函数的图象，图形计算器可以很直观地展现一个函数的性质，使我们可以更加深入地了解一个函数，使数学学习变得轻松、有效！图形计算器是我们学习数学的好帮手，是我们探究数学的有力工具．