高中数学自主招生基础知识补充

1大学自主招生数学知识补充一、三角函数1、半角公式2cos12sin积化和差sinsin21cossinsinsin21sincoscoscos21coscoscoscos21sinsin2、和差化积2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos3、万能公式2tan1tan22sin三倍角公式60sinsin60sin4sin4sin33sin360coscos60cos4cos3cos43cos360tantan60tan3tan4、三角恒等式（换成余弦也成立）0)34sin()32sin(sin23)34(sin)32(sinsin22289)34(sin)32(sinsin4445、正弦平方差公式)sin()sin(sinsin22)cos()cos(coscos226、三角形中的结论(注意前提条件)CBACBAtantantantantantan1cotcotcotcotcotcotACCBBA2cos12coscos1sinsincos1cos1cos12tan22tan1tan12cos2tan1tan22tan22cot2cot2cot2cot2cot2cotCBACBA12tan2tan2tan2tan2tan2tanACCBBA)(22cbbaBASacbA4cot222SbcaB4cot222ScabC4cot2227、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外，还有一些sincostan154264263275426426321841572415二、数列1给递推式求通项公式(1)常见形式即一般求解方法①qpaann1若p=1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列，若p≠1，则两边同时加上1pq，变为111pqappqann显然是以11pqa为首项，p为公比的等比数列②nfpaann1，其中f(n)不是常数若p=1，则显然an=a1+11niif，n≥2若p≠1，则两边同时除以pn+1，变形为111nnnnnpnfpapa利用叠加法易得1111niinnpifpapa，从而1111niinnpifapa(2)不动点法当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：dacbaaannn1令dxcbxax，即02bxadcx，令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x23则有pxaxann11111其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。若x1≠x2则有212111xaxaqxaxannnn其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。(3)特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法。先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。①nnnqapaa12特征方程为x2=px+q，令其两根为x1，x2则其通项公式为nnnxBxAa21)(21xx，A、B用待定系数法求得。或)()211xxxnBAann（②nnnnraqapaa123特征方程为x3=px2+qx+r，令其三根为x1，x2，x3则其通项公式为nnnnxCxBxAa321，A、B、C用待定系数法求得。(4)数学归纳法简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。(5)联系三角函数三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子2112nnnaaa看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。三、不等式与最值1平均不等式设Rai(i=1,2,…,n)调和平均值：niinanH11几何平均值：nniinaG1算术平均值：naAniin1平方平均值：naGniin12则有：nnnnGAGH等号成立当且仅当naaa21注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！2柯西不等式及其变形设Rbaii,(i=1,2,…,n)，则niiniiniiibaba121221其中等号成立，当且仅当iiba为定值4常用变形一：RbRaii，若(i=1,2,…,n)，则niniiniiiibaba11212注：要求bi为正数常用变形二：若Rbaii，(i=1,2,…,n)，则niiiniiniiibaaba1211注：要求ai，bi均为正数。当然，这两个式子虽常用，但是记不记并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用。3排序不等式（略）4琴生不等式（8）琴生不等式：琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式若一个函数的二阶导数为负数，则该函数为上凸的；若二阶导数为正数，则该函数为下凸的三、方程根的问题1、零点存在定理（略）2、三次方程的韦达定理：设三次方程为)0(023adcxbxax的三根为321,,xxx则有：adxxxacxxxxxxabxxx321323121321,,3、整系数多项式的根：若既约分数pq为整系数方程00111axaxaxannnn的根，则pna，q0a四、排列组合二项式定理1.常见组合恒等式:11kknnkCnCqnmkqmqkknCCC01121rnrnrrrrrrCCCCC.nnnrnnnnCCCCC2210.14205312nnnnnnnCCCCCC.1321232nnnnnnnnCCCC2、一次不定方程rxxxn21的正整数解得个数为：11nrC，非负整数解得个数为：511nrnC3、错位排列个数：nDn！)1)1(3121111(nn五、立体几何1、三面角公式：如图，平面M、N相交于直线l，且两个平面的二面角为，A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N内.已知BDC，BDA，CDA，且，，都是锐角.则有：sinsincoscoscoscos特殊地，若，2则coscoscos，这就是著名的三余弦公式。2、四面体ABCD中，AB,CD的夹角为AB,CD的距离为d，则（1）sin.61CDdABV（2）CDABADBCBDAC.2)()(cos2222六、函数1、)0()11()(xxxfx是单调递增的函数，极限为e2、)0()11()(1xxxfx是单调递减的函数，极限为e七、极限1、nan,的极限情况：（1）当1a时，极限为0（2）当1a时，极限为1（3）当1,1aa时，极限不存在2、nn)11(的极限为e，3)11(2nn，单调递增，3、无穷等比递缩数列的所有项的和为：qaqqaSnn11)1(11lim祝同学们梦想成真，考上理想的大学，加油MBDANC