高中数学课件第2章空间向量与立体几何23第1课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-1第二章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1空间向量与立体几何第二章第二章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12.3向量的坐标表示和空间向量基本定理第1课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理第二章第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读2预习效果检测3课堂典例讲练4课时作业6易混易错辨析5课前自主预习1第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课前自主预习第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．空间向量基本定理定理：如果三个向量a、b、c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_____________．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，_____________都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的___________的单位向量e1、e2、e3称为单位正交基底．xa＋yb＋zCa，b，c两两垂直不共面第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共点O为________，分别以_____________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间直角坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它________，使它的起点与原点O重合，得到向量OP→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序数组{x，y，z}，使得p＝_____________把___________称作向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作_____________．原点e1，e2，e3平移xe1＋ye2＋ze3x，y，zp＝(x，y，z)第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的，空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．空间向量基本定理的证明设a、b、c不共面，过点O作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OP→＝p；过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线OA、OB相交于点A′、B′.于是存在三个实数x，y，z，使OA′→＝xOA→＝xa，OB′→＝yOB→＝yb，P′P→＝zOC→＝zc，OP→＝OA′→＋OB′→＋P′P→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.∴p＝xa＋yb＋zC．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13．空间直角坐标系与单位正交基底的关系在空间选一点O和一个单位正交基底{e1，e2，e3}，以点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴，这样我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中O叫原点，向量e1、e2、e3都叫坐标向量，经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，它们分别是xOy平面，xOz平面，yOz平面．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．空间一点的坐标的确定方法对空间的一点P(x，y，z)，如图(1)所示，过点P作面xOy的垂线，垂足为P′，在面xOy中，过P′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z|＝PP′，根据点A、C、D的位置即可确定x、y、z的符号．例如，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则A(2,0,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,1)，B1(2,3,1)，C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，如图(2)所示．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-15．特殊向量的坐标表示若向量a平行x轴，则a＝(x,0,0)．若向量a平行y轴，则a＝(0，y,0)．若向量a平行z轴，则a＝(0,0，z)．若向量a平行xOy平面，则a＝(x，y,0)．若向量a平行yOz平面，则a＝(0，y，z)．若向量a平行zOx平面，则a＝(x,0，z)．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1预习效果检测第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．如果a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面[答案]A[解析]因为空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，因此，a、b必与任何向量共面，所以a、b为共线向量．故选A．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．在空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，若OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则OG→等于()A．13a＋13b＋13cB．12a＋12b＋12cC．a＋b＋cD．3a＋3b＋3c[答案]A第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]如图，取AB的中点M，连结CM，则必过G点，则CM→＝12(CA→＋CB→)＝12[(OA→－OC→)＋(OB→－OC→)]＝12a＋12b－C．CG→＝23CM→＝13a＋13b－23c，所以OG→＝OC→＋CG→＝13a＋13b＋13C．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13．向量a＝(0,2,3)，则()A．a平行于x轴B．a平行于平面yOzC．a平行于平面zOxD．a平行于平面xOy[答案]B[解析]因为a的横坐标为0，所以a平行于平面yOz.第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，MN→在基底{a，b，c}下的坐标为________________．[答案](－23，12，12)[解析]∵OM＝2MA，点M在OA上，∴OM＝23OA，∴MN→＝MO→＋ON→＝－OM→＋12(OB→＋OC→)＝－23a＋12b＋12c＝(－23，12，12)．[总结反思]这里MN→的坐标，不是空间直角坐标．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-15．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有__________个．[答案]3[解析]②③④都可以作为空间的一组基底，对于①，x＝a＋b，显然a、b、x共面，故{a，b，x}不能作为空间的一个基底．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课堂典例讲练第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1空间向量基本定理如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，AB→＝i，AD→＝j，AP→＝k，试用基底{i，j，k}表示向量PG→、BG→.第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[分析]利用三角形法则，平行四边形法则将向量PG→，BG→用AB→，AD→，AP→来表示．由于点G为△PDC的重心，所以有PG＝23PN.第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]PG→＝23PN→＝23[12(PC→＋PD→)]＝13(PA→＋AB→＋AD→＋AD→－AP→)＝13AB→＋23AD→－23AP→＝13i＋23j－23k.BG→＝BC→＋CN→＋NG→＝BC→＋CN→＋13NP→＝AD→－12DC→－13PN→＝AD→－12AB→－(16AB→＋13AD→－13AP→)＝23AD→－23AB→＋13AP→＝－23i＋23j＋13k.第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[总结反思]用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA→＝a，OC→＝b，OP→＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a、b、c表示BF→、BE→、AE→、EF→.第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]连接BO，则BF→＝12BP→＝12(BO→＋OP→)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c．BE→＝BC→＋CE→＝－a＋12CP→＝－a＋12(CO→＋OP→)＝－a－12b＋12c．AE→＝AP→＋PE→＝AO→＋OP→＋12(PO→＋OC→)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c．EF→＝12CB→＝12OA→＝12a．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1空间向量的坐标表示棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{AB→，AD→，AA′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE→，AG→，AF→；(2)EF→，EG→，DG→.[分析]若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示为a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y，z)就是a在基底{e1，e2，e3}下的坐标．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析](1)AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋12DD′→＝AD→＋12AA′→＝(0,1，12)，AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋12AD→＝(1，12，0)，AF→＝AA′→＋A′D′→＋D′F→＝AA′→＋AD→＋12AB→＝(12，1,1)．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)EF→＝AF→－AE→＝(AA′→＋AD→＋12AB→)－(AD→＋12AA′→)＝12AA′→＋12AB→＝(12，0，12)，EG→＝AG→－AE→＝(AB→＋12AD→)－(AD→＋12AA′→)＝AB→－12AD→－12AA′→＝(1，－12，－12)，DG→＝AG→－AD→＝AB→＋12AD→－AD→＝AB→－12AD→＝(1，－12，0)．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[总结反思]1.求a在单位正交基下的坐标，关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系，将a表示为a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标为(x，y，z)．2.AB→的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标．第二章2.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1如图所示，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，BA⊥AC，AA′＝BA＝AC＝1.建立坐标系如图，M为BB′的中点，求C′M→的坐标．[解析]设i，j，k为标准正交基．∵C′M