高中数学选修1-1人教A教案导学案2.1.2椭圆的简单几何性质

12.1.2椭圆的简单几何性质一、预习目标①了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．二预习内容1．椭圆的定义(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21FF)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222byax，其中(0，且2a)(2)焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222bxay，其中a，b满足：．3．椭圆的几何性质(对12222byax,ab0进行讨论)(1)范围：≤x≤，≤y≤(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3)顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；(4)离心率：e(与的比)，e，e越接近1，椭圆越；e越接近0，椭圆越接近于．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容2课内探究学案一、学习目标1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；2．掌握标准方程中cba,,的几何意义，以及ecba,,,的相互关系，能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法奎屯王新敞新疆重点：椭圆的几何性质难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质二、学习过程1.回答下列问题;（1（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的yx,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？cba,,的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？2.完成下列表格：方程3图像a、b、c00caba焦点范围对称性顶点长、短轴长离心率3.例题例1．求椭圆221625400xy的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。例6如图，设,Mxy与定点4,0F的距离和它到直线l：254x的距离的比是常数45，求点M的轨迹方程．分析：若设点,Mxy，则224MFxy，到直线l：254x的距离254dx，则容易得点M的轨迹方程．三、反思总结1.记住椭圆的几何性质（注意焦点所在的轴）2.会求动点的轨迹方程。四、当堂检测1、椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A、5、3、0、8B、10、6、0、84C、5、3、0、6D、10、6、0、62、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）A、B、C、D、3、若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）、F2（3，0），则其离心率为（）A、B、C、D、4、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若⊿ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A、B、C、D、5已知点（3，2）在椭圆上，则（）A、点（-3，-2）不在椭圆上B、点（3，-2）不在椭圆上C、点（3，-2）在椭圆上D、无法判断点（-3，-2）、（3，-2）、（3，-2）是否在椭圆上6、设椭圆的短轴为B1B2，F1为椭圆的左焦点，则∠B1F1B2等于（）A、B、C、D、课后练习与提高1．设a、b、c、P分别是椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距及焦点到对应准线的距离，则它们的关系是（）A．abP2B．baP2C．cbP2D．caP22．椭圆112222mbmx的准线平行于x轴，则m的取值范围是（）A．，21B．021，C．（1，+∞）D．)1(121，，3．以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同点，这四个顶点和两个焦点恰好构成一个边长为2的正六边形，则关于此椭圆有（）A．长轴长为13B．短轴长为345C．离心率为13D．焦点相应准线的距离为334．已知椭圆)0(12222babyax的三个顶点为，)0(2bB，，A（a，0），焦点F（c，0）且21ABFB，则离心率e=________________________________。5．椭圆192522yx上一点P到左准线的距离为2.5，则P到右焦点的距离是_____________________。6．若椭圆1622ykx的离心率为33，则k=__________________________________。7．在椭圆152522yx上求一点P，使21PFPF。62.1.2椭圆的简单几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；领会每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。（2）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；运用数形结合思想解决实际问题的能力。教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹奎屯王新敞新疆2．标准方程：12222byax，12222bxay（0ba）二、新课讲解：1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)xy满足不等式22221,1xyab，∴22xa，22yb，∴||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.1A2A2B2AOxy2F7在椭圆的标准方程中，令0x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)Aa，2(,0)Aa是椭圆与x轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22RtOBF中，2||OBb，2||OFc，22||BFa，且2222222||||||OFBFOB，即222cac．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率.∵0ac，∴01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya．5.填写下列表格：方程图像a、b、c00caba焦点),0(),0(21cFcF范围byax,bxay,对称性椭圆关于y轴、x轴和原点都对称B2B1A2A1xOy8顶点长、短轴长长轴:A1A2长轴长短轴：B1B2短轴长离心率例1．求椭圆221625400xy的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把已知方程化为标准方程22221xyab，5a，4b，∴25163c，∴椭圆长轴和短轴长分别为210a和28b，离心率35cea，焦点坐标1(3,0)F，2(3,0)F，顶点1(5,0)A，2(5,0)A，1(0,4)B，2(0,4)B．例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点(3,0)P、(0,2)Q；（2）长轴长等于20，离心率等于35．解：（1）由题意，3a，2b，又∵长轴在x轴上，所以，椭圆的标准方程为22194xy．（2）由已知220a，35cea，∴10a，6c，∴22210664b，所以，椭圆的标准方程为22110064xy或22110064yx．例3.如图，设,Mxy与定点4,0F的距离和它到直线l：254x的距离的比是常数45，9求点M的轨迹方程．分析：若设点,Mxy，则224MFxy，到直线l：254x的距离254dx，则容易得点M的轨迹方程．作业：P47第4、5题