高中物理双基学法系列第八讲匀变速直线运动的位移与时间的关系

1第八讲匀变速直线运动的位移与时间的关系基础知识学点一：匀速直线运动1、匀速直线运动的位移公式：vtx。位移的方向：由起点指向终点。取运动的初始时刻物体的位置为坐标原点，建立建立直角坐标系，则匀速直线运动的位移时间tx图像是一条过原点的直线。2、匀速直线运动的tv图像匀速直线运动的速度v不随时间变化，所以其速度时间tv图像是一条平行于时间轴的直线。（1）tv图像的斜率表示加速度，在匀速直线运动运动中，0tva。（2）根据tv图像的物理意义，纵截距表示速度，速度是矢量。离开原点的距离越远，即纵截距的绝对值越大，则运动的速度越大。图像在时间轴的上方的截距为正，则表示物体向规定的正方向运动；同理，图像在时间轴的下方的截距为负，则表示物体向规定的正方向的反方向运动。（3）tv图像与对应的时间轴所包围的面积在数值上等于物体在这段时间内的位移，即vtx。（4）tv图像与时间轴围成的面积为正值，位移沿正方向，为正值；图像与时间轴围成的面积为负值，位移沿负方向，为负值。物体通过的总位移等于上、下面积的代数和。（5）物体通过的总路程等于时间轴上、下方所围成的面积的绝对值之和。基础知识学点二：匀变速直线运动的位移公式1、匀变速直线运动的位移公式：221attvxo用代数法证明：在匀变速直线运动中的平均速度20vvvt。作变速运动的物体在时间t内的位移等于物体在这段时间内的平均速度和时间的乘积，即tvx。所以tvvtvxt20，其中atvvt0，代入后得到221attvxo。22、对公式的拓展（1）当0a时，位移为：tvx0，物体做匀速直线运动。（2）当00v时，位移为：221atx，位移与运动时间的平方成正比，物体做初速度为零的匀加速直线运动。（3）如果已知了物体运动的时间t、加速度a、末速度tv时，求位移x，则公式为：222121attvattatvxtt（4）如果已知了初速度0v、末速度tv、时间时t，求位移x，则公式为：tvvxt0213、公式的物理意义该公式反映了物体做匀变速直线运动时，位移随时间的变化规律。4、公式的理解（1）公式中x表示t时间内物体运动的位移，单位是m；0v表示初速度，单位是sm/；a表示加速度，单位是2/sm；t表示时间，单位是s。（2）公式反应了位移随时间的规律，仅适用于匀变速直线运动的位移的求解。（3）公式中x、0v、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，才能进行运算，一般选取初速度0v的方向为正方向。①若0v与a同向，则a取正值，物体做匀加速直线运动。②若0v与a反向，则a取负值，物体做匀减速直线运动。③如果计算结果是正值，则说明这段时间内，物体运动的位移的方向与规定的正方向相同。④如果计算结果是负值，则说明这段时间内，物体运动的位移的方向与规定的正方向相反。5、逆向思维法末速度为零的匀均减速直线运动可看成初速度为零、加速度大小相等的反向3匀加速度直线运动。设物体的初速度为0v，加速度大小为a，做匀减速直线运动至速度为零，则可将此运动逆向看成初速度为零，加速度大小为a的匀加速直线运动，末速度为0v，历时t，则经过的位移有以下的表述：（1）2021attvx（顺向的表达）（2）221atx（逆向的表达）（3）tvx20，其中平均速度20vv。（4）对匀加速直线运动，若不知道初速度的大小，但知道了末速度v的大小，以及加速度a的大小，则在时间t内也可以你想表达为：2021attvx。6、利用匀变速直线运动规律解题的方法（1）选择研究对象，分析运动过程中是否为匀变速直线运动，并确定其为何种性质的运动，必要时画出运动过程的示意图。（2）分析运动过程中的初速度0v、加速度a、位移x以及时间t，统一它们的单位都为国际单位。若有三个已知量，可用221attvxo求得第四个物理量。（3）规定正方向，一般选初速度的方向为正方，判断各矢量的正、负号，并代入公式计算。对于无法确定方向的未知量，可以先假定其为正方向，再根据计算结果的正负来判断该物理流量的正负。（4）对求出的物理量的正负进行说明，若求出的物理量为正值，则说明其方向与正方向相同；若求出的物理量为负值，则说明其方向与正方向相反。基础知识学点三：匀变速直线运动中的重要推论1、平均速度（1）做匀速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内的初、末速度矢量和的一半，还等于这段时间内的中间时刻的瞬时速度，即202ttvvvv推证：设物体运动的初速度为0v、末速度为tv、加速度为a、中间时刻的瞬时速4度为2tv。由221attvxo得到：atvtxv210……①由速度公式atvvt0得到：0vvatt……②将②式代入①得到：20tvvv因中间时刻的瞬时速度202ttvvv。所以：202ttvvvv（2）202ttvvvv只适用于匀变速直线运动，且该等式是一个矢量式，注意正负的选取，也是求瞬时速度最常用的方法。（3）当00v时，22ttvvv；当0tv时，202vvvt。（4）应用平均公式求位移，不涉及加速度，使用比较省事。（5）平均速度txv与中间瞬时速度202ttvvv的比较这两个公式虽然在匀变速直线运动中可以相等，但是适用范围完全不同。平均速度公式txv可适用于任何形式的运动，可中间速度公式202ttvvv只适用于匀变速直线运动。（6）平均速度的物理意义可以把原来的匀变速直线运动看成是以某速度运动的匀速直线运动，在tv图像上，相当于把原来倾斜直线表示的运动转化为用一条平行于横轴的直线来表示，如图所示。2、逐差法ot/5（1）在匀变速直线运动中，a加速度为恒量，大小和方向都不随时间而变化，质点在任意两个连续相等的时间T内的位移之差一定相等。22312aTxxxxx证明：将匀变速直线运动分成若干段，每段时间都为T，设质点在每段时间内通过的位移大小分别为1x、2x、3x、…、nx，则有20121aTTvx20221aTTaTvx203212aTTaTvx…………容易得到22312aTxxxxx（2）推论：在连续相等的时间内，任意两端之间的位移之差也是一个恒定值2aTmnxxmn（3）此公式的物理意义在匀变速直线运动中，在任意两个连续相等的时间间隔内，位移之差是一个定值，都等于2aT，a为加速度，T为时间间隔。（4）此推论有三个方面的应用：一是用以判断物体是否做匀速度直线运动；二是用以求加速度；三是用于打点计时器来研究物体的运动。基础知识学点四：用极限思维推导匀变速直线运动的位移与时间的关系1、极限思维（1）根据匀速运动速度时间图像中，位移等于如图甲中的矩形的面积的做法，在匀变速直线的速度时间图像乙中，把物体的运动分成几个小段，（即把时间分割成很小的时间间隔t——微元）。每段位移近似等于每段起始时刻速度乘以每段的时间间隔，即对应的很小的矩形面积（也就是把t内的运动简单地看做匀速直线运动——简化），整个过程的位移近似等于各个小矩形面积之和。6（2）把运动过程分为更多的小段，各个小矩形的面积之和，更能精确第表示物体在整个运动过程中的位移。（3）把整个过程分得很小很小，接近于无限时，小矩形接近无限多，它们合在一起的面积就越接近与乙图中阴影梯形的面积，梯形的面积就表示物体在相应时间内的位移。（4）结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着tv图像中的图线与对应时间轴所围成的面积。其实，对于任何形式的直线运动，tv图像中与对应时间轴所围成的面积都等于物体运动的位移。2、位移——时间的关系式根据前面的分析讨论可知，图乙中阴影部分的面积就表示匀变速直线运动的位移，即这个面积tvvxt021，又有：atvvt0联立可以得到：2021attvx还可以如右图所示，直接得到这个公式。基本技能学点一：位移——时间图线的应用1、位移——时间图像的建立以纵轴表示位移x，横轴表示时间t，就是位移——时间图像，简称位移图像或tx图像。2、物理意义物体的运动位移随时间变化的图像，反映了物体的位移随时间变化的关系；图像上某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。3、图像的形状由匀变速直线运动的位移公式2021attvx可知：tx图像是一个二次函数图象，是一条以avt0为对称轴的抛物线，与横轴相交的两点坐标为0,0和av0oxt70,2-0av，如图所示。因为时间的取值范围0t，则只取第一象限的部分。4、图像包含的信息位移大小初、末位置的纵坐标差的绝对值方向末位置与初位置的纵坐标差的正、负，正值表示位移为正，物体沿正方向运动；负值表示位移为负，物体向负方向运动。速度大小斜率的绝对值方向斜率的正负，斜率为正，表示物体向正方向运动，斜率为负，表示物体向负方向运动。运动开始位置图线起点的纵坐标运动开始时刻图线起点的横坐标两图线交点表示两物体在同一位置，或者说两物体相遇于同一点。基本技能学点二：初速度为零的匀变速直线的比例关系：初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，以下的公式中，以T为时间单位，从初速度为零开始计时，则有：1、等分时间（1）在初速度为零的匀变速直线运动中，从运动开始算起，在第T1秒末、第T2秒末、第T3秒末…第nT秒末速度之比为：nvvvvn::3:2:1::::321证明：在初速度为零的匀变速直线运动中，从运动开始算起，第T1秒末速度为：aTv1第T2秒末速度为:aTv22第T3秒末速度为：aTv33…………………………………8第nT秒末速度为：naTvn所以在初速度为零的匀变速直线运动中，从运动开始算起，在第T1秒末、第T2秒末、第T3秒末…第nT秒末速度之比为：nvvvvn::3:2:1::::321（2）匀变速直线运动中，从运动开始算起，在前T1秒内、前T2秒内、前T3秒内…前nT秒内位移为nxxxx321..，则它们的位移之比为：22221::2:1:::nxxxn证明：在前T1秒内的位移为：2121aTx前T2秒内的位移：2222212221aTTax前T3秒内的位移：2223213321aTTax…………………………………………前nT秒内的位移：2222121aTnnTaxn得到：22221::2:1:::nxxxn（3）在初速度为零的匀变速直线运动中，从运动开始算起，在第T1秒内、第T2秒内、第T3秒内…第nT秒内的位移之比为：12::5:3:1:::21nxxxn证明：运动物体在第T1秒内、第T2秒内、第T3秒内…第nT秒内的位移分别为nxxxx321..，运动物体在前T1秒内、前T2秒内、前秒内…前nT秒内位的位移为：1X，2X,3X,……nX。那么11Xx、122XXx、233XXx……在前T1秒内的位移为：2121aTx前秒内的位移：2222212221aTTax前T3秒内的位移：2223213321aTTax…………………………………………前nT秒内的位移：2222121aTnnTaxn9那么运动物体在第T1秒内的位移为：21121aTXx运动物体在第T2秒内的位移为：222122213221aTTTaXXx运动物体在第T3秒内的位移为：2222332152321aTTTaXXx…………………………………………………………所以12::5:3:1:::21nxxxn321、、n2、等分位移（1）在初速度为零的匀变速直线运动中，从运动开始算起，通过前x、前x2、前x3、……位移末的瞬时速度之比为nvvvvn3:2:1::321证明：由初速度为零的匀变速直线运动的规律可知：axv22得到axv2通过第1个x位移的瞬