高中数学选修2-1新教学案3.2立体几何中的向量方法(4)

1A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG3.2立体几何中的向量方法（第4课时）【教学目标】能用向量方法解决异面直线所成的角与线面角的计算问题.【重点】异面直线所成的角与线面角的计算.【难点】异面直线所成的角与线面角的计算.【创设情景】1.异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法.2.向量的夹角公式.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第107页～第108页）1.直线的方向向量在求异面直线所成的角时的应用：2.法向量在求线面角中的应用：原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。【基础练习】1．要求:5个题目,带答案.【典型例题】例1在正方体1111DCBAABCD中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=41A1B1，D1F1=41D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。【审题要津】解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG1715cosAHG解2：（向量法）设bFDaDD111,4，则||||ba且ba222212117)4(||||abaBEDF21115)4)(4(ababaBEDF2A1xD1B1ADBCC1yzE1FABCSxzy1715||||,cos111111DFBEDFBEDFBE解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DDDCDA为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD)4,1,0(1BE,)4,1,0(1DF，1BE1DF＝151715||||,cos111111DFBEDFBEDFBE【方法总结】例2在正方体1111DCBAABCD中,F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且11ED41D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小【审题要津】解：设正方体棱长为1，以1,,DDDCDA为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz1DB为D1AC平面的法向量，)1,1,1(1DB)1,43,21(1FE8787,cos11FEDB所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为8787【方法总结】在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求证：SC⊥BC；（2）求SC与AB所成角的余弦值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=13，SB=29，得B（0,17,0）、S（0,0,23）、C（21713,174,0），∴SC=（21713,174,-23），CB=（－21713,1713,0）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）∵SC·CB=0，∴SC⊥BC新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3（2）设SC与AB所成的角为α，∵AB=（0,17,0），SC·AB=4，|SC||AB|=417，∴cosα=1717，即为所求新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆