高中物理竞赛(动量)

1动量一.冲量、动量定理1.冲量：I=Ft，相当于F-t图象的面积。2.动量定理：Ft=mv2-mv1(是矢量关系)。3.动量定理的推广：vmtF。1.如图所示,水平面上有二个物体A和B,质量分别为mA=2Kg,mB=1Kg,A与B相距一定的距离,A以v0=10m/s的初速度向静止的B运动,与B发生正碰后分开,分开后A仍向原方向运动,已知A从开始运动到停下来共运动6s时间.求碰后B能滑行的时间.(略去A、B的碰撞时间,A和B与地面之间的动摩擦因数都为0.1,重力加速度g=10m/s2)（答案：8s）解：对系统，有动量定理：-mAgtA-mBgtB=0-mAv0,tB=8s.2.以速度大小为v1竖直向上抛出一小球,小球落回地面时的速度大小为v2,设小球在运动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比,求小球在空中运动的时间.[答案：(v1+v2)/g]解:因小球在运动过程中受到的阻力大小是变化的,所以无法直接用牛顿定律解,把物体运动过程分成无数段,则stv。上升过程，有动量定理:-mgt-kvt=mv,求和得:mgt上+ks=mv1.同理下落过程:mgt下-ks=mv2.两式相加得:t=t上+t下=(v1+v2)/g.3.质量为m的均匀铁链,悬挂在天花板上,其下端恰好与水平桌面接触,当上端的悬挂点突然脱开后,求当有一半的铁链在水平桌面上时,铁链对桌面的压力.（答案：3mg/2）解:设铁链长为L,则单位长度的质量为m/L,当有一半的铁链在水平桌面上时,铁链对桌面的压力为:桌面上的铁链的重力F1=mg/2和落到桌面上的铁链对桌面的冲力F2之和.取刚落到桌面上的一小段铁链作为研究对象,它的初速度v0=gLgL22,末速度v=0,质量m=v0tm/L.有动量定理:22()0(),得.mmFmgtmLgFLgmgLgmgtt所以铁链对桌面的压力F=F1+F2=3mg/2.(F2不能用动能定理,为什么?)4.一根均匀柔软绳长为L,质量为m,对折后两端固定在一个钉子上.其中一端突然从钉子上脱落,如图所示.求下落端的端点离钉子的距离为x时,钉子对绳子另一端的作用力.[答案：21mg(1+3x/L)]解:当左边绳端离钉子的距离为x时,左边绳长为x=21(L-x),速度gxv2.右边绳长为21(L+x),又经一段很短时间t后,左边的绳子又有长度为21vt的一小段转移到右边去了,我们就分析这一小段绳子,这一小段绳子受两个力作用:上面绳子对它的拉力T和它本身的重力21vtg(=m/L,为绳子的线密度),根据动量定理(不能用动能定理,因在绳子受T的作用过程有动能损失),设向上方向为正:(T-21vtg)t=0-(-21vtv),由于t取得很小,因此这一小段绳子的重力相对于T来说是很小的，可以忽略。所以T=21v2=gx,因此钉子对右端绳的作用力F=21(L+x)g+T=21mg(1+3x/L).5.如图所示,质量为M小车在光滑的水平面上以v的速度向左作匀速直线运动.一质量为m的小球从高为h处自由下落,与小车碰撞后,反弹上升的高度仍为h,小球与小车碰撞时,小球受到小车的弹力Nmg,小球与小车间的动摩擦因数为,求小球弹起后的水平速度。[答案：gh22或Mv/(M+m)]解：小球刚落到车上量的竖直速度02hvg。设小球碰后的水平速度为v，竖直方向速度改变量为2v0，平均支持力为N，2在竖直方向：Nt=2mv0,在此过程中摩擦力产生的冲量:ft=Nt=2mv0,根据动量定理：2mv0=mv,得小球弹起后的水平速度v=2v0=gh22若2mv0mv,实际上小球离开小车前摩擦力消失，小球的水平速度与小车相等。有动量守恒定律：Mv=(M+m)v,得小球弹起后的水平速度v=Mv/(M+m).二.动量守恒定律：m1v1+m2v2=m1v1+m2v2.6.光滑水平面上有一平板车，质量为M,上面站着质量为m的人,共同以v0的速度前进,若人相对于车以v的水平速度跳出，求下列情况下人跳出车后车的速度大小。（1）人向后跳出。（2）人向前跳出。[答案：（1）mMmvvmMv0)(；（2）mMmvvmMv0)(]解（1）设人跳出车后车的速度为v,若选定向前为正方向，则人对地的速度为v-v有动量守恒：(M+m)v0=Mv+m(v-v),得mMmvvmMv0)(。若选定向后为正方向，人对地的速度v-v(向后)，则：(M+m)v0=Mv-m(v-v),得mMmvvmMv0)(。（2）设人跳出车后车的速度为v（向前）,则人对地的速度v+v有动量守恒：(M+m)v0=Mv+m(v+v),得mMmvvmMv0)(。车对地的速度v(向后)：(M+m)v0=-Mv+m(v-v),得mMmvvmMv0)(（负号向前）。1.当速度方向不在一直线上时的动量守恒：正交分解7.如图所示，光滑水平面上有一长为L的平板小车,其质量为M，车左端站着一个质量为m的人,车和人都处于静止状态，若人要从车的左端刚好跳到车的右端，至少要多大的速度（对地）。（答案：mMMLgv0）解：设人起跳的速度大小为v0,与水平面的夹角为，则人的水平位移：gvgvvx2sinsin2cos2000，对人而言，=45时，x1最大，v0可最小，但车向左在运动，x与车的速度有关。有水平方向动量守恒：-Mv+mv0soc=0,得车的速度v=mv0soc/M,人落到车的右端条件：LgvMmvgvsin2cos2sin0020，得起跳的速度大小：2sin)(0mMMLgv，当=45时，v0最小，起跳的最小速度：mMMLgv0。8.有一个质量及线度足够大的水平板,它绕垂直于水平板的竖直轴以角速度旋转.在板的上方h处有一群相同的小球(可视为质点),它们以板的转轴为中心、R为半径均匀地在水平面内排成一个圆周(以单位长度内小球的个数表示数线密度).现让这些小球同时从静止状态开始自由落下,设每个球与平板发生碰撞的时间非常短,而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变,仅是方向相反.而在水平方向上则会发生滑动摩擦,滑动摩擦系数为.（1）求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比1k。(2)如果2gR（g为重力加速度）且211k，求这群小球第三次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比2k。[答案：（1）ghkRvRhkRv21221281/1,;)8(1/1,时当时当；(2)212k]3解(1):设总数为N,则第一次1=N/2R,在这些小球中任取一只,刚碰时,,20ghv设碰撞时间t,平均力为F,其竖直速度不变,所以Ft=2mv0,板有切线方向的速度v1=ωR.这样使小球在切线方向获得速度v2.当v2v1时,则ft=mv2,或Ft=mv2,得v2=2v0=Rgh22当v2v1时,则f作用时间小于t,v2=R.第一次和第二次碰撞点的水平距离:.)(,22R)(,8.22222RvghRvhghvL第二次与平板碰撞时离圆心的距离（即半径）.)(,)8(1)(,)8(2222221RvghRRRvhRRghkRvRhkRvrrk212212211281/1,;)8(1/1,,时当时所以当因。（2）如果取1k的结果，211k，得8Rh，由Rgh22，得到2gR，这与题设条件2gR相矛盾。如果取1k的结果，211k，得28gh，由Rgh22，得到2gR，这与题设条件2gR相符合。因此取Rgh22，28gh，将28gh代入L后得RghRL22。在第二次碰撞中，每个小球在竖直方向上仍有Ft=2mv0,在碰撞前小球对地的速度为Rv球地，碰撞点板对地的速度为Rv2板地，它们间的夹角=45，有地板球地球板vvv，得球相对板的速度Rv球板，因第一次和第二次与板碰撞时与板的相对速度相同，那么在Rgh22的条件下，而平板对小球的摩擦力与相对速度方向相反，碰撞结束前小球已处于相对静止，碰后的速度为222vRv球地，它的水平射程RghvL22222于是第三次相碰时这群小球对应的半径RLR222，2122RRk2.当外力不零时的动量守恒：当物体间作用时间极短时，可忽略外力的冲量，动量守恒9.质量为m的重锤从高为H处自由下落,打在质量也为m的木桩上,设重锤与木桩为完全非弹性碰撞(碰撞后速度相同),木桩受到地的阻力与木桩进入地内的深度成正比，即f=kx(k为已知的常数，x是木桩打入地内的深度)，设每次重锤下落的高度相同，地对木桩的阻力比重力大得多。求（1）第一次打入的深度。（2）第n次打入的深度。[答案：（1）kmgHx1；（2）kmgHnnxn)1(]解（1）:重锤自由下落过程,有机械能守恒定律得gHv20，重锤打击木桩过程,有动量守恒定律得mv0=2mv,得共同速度v=v0/2,木桩打入地过程,因f2mg,忽略重力,有动能定理(kx1/2)x1=212mv2,得kmgHx1。（2）因每次打击木桩后的共同速度相同，所以每次克服阻力做的功相同。第二次：1221221222,21212121xxkxmvkxkx得，打入的深度12)12(xx。第三次：132122233,212121xxkxkxkx得，打入的深度13)23(xx。4同理，第n次打入的深度kmgHnnxnnxn)1()1(1。每次阻力做的功可用f-x图象或者12xxw=kxdx解。10.如图所示,固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m,发射筒与水平面成450角,小车放在光滑水平面上,被发射的小球质量为m,现将弹簧压缩L后放入小球,从静止开始,将小球弹射出去.已知小球的射高为H,不计小球在发射筒内的重力势能变化.试求弹簧的劲度系数k.（答案：227LmgHk）解:此题最易犯的错误是认为小球的出口速度方向与水平面成450,实际上由于小车向后运动,发射的小球抛射角45。设小球刚射出时对地速度的分量分别为vx及vy,车的速度为v.有系统在x方向动量守恒mvx=3mv-----(1)在发射过程中,有机械能守恒2222)3(21)(2121vmvvmkLyx-----(2)小球的竖直速度与射高的关系gHvy22-----(3)再有小球的速度与相对速度的关系xyvvv045tan-----(4)有以上四个方程得227LmgHk.11.如图所示,小车的质量M=1Kg,左端放一质量m=2Kg的铁块（可看成质点）,铁块和小车间的动摩擦因数,起先小车和铁块一起以v0=6m/s的初速度在光滑地面上向右滑行,然后与竖直的墙发生碰撞,且碰撞过程中不损失机械能.求(1)要使铁块不从小车上滑出,则小车的长度至少要多长?(2)若小车足够长,则小车与墙第一次相碰后所通过的总路程为多少?[答案：（1）5.4m；(2)4.05m]解（1）因Mm,物体最后停在墙边，有能量守恒定律：20)(21vmMmgL，得L=5.4m。(2)第一次碰撞后小车以v1=v0向左弹回,其a=mg/M=10m/s2,向左滑行最远时小车的速度为零，最远距离为2021122vmgMavs=1.8m;有动量守恒,以v2=v1/3的共同速度运动（速度相同前小车会不会与墙碰撞？）第二次碰撞后小车向左滑行的距离为922121222svmgMavs同理11199nnnsss.所以小车的总路程:s总=2(s1+s2+s3+)=2s1{129191911n}=05.49/1121Sm3.连接体12.