高中数学选修2-2第一三章导数复数测试题

高二数学理科综合能力单元过关检测选修2-22014-031高二数学理科选修2-2第一、三章测试题班级_____________姓名____________一、选择题1．函数3yxx=+的递增区间是（）A.),0(B.)1,(C.),(D.),1(2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t等于()A.34B.43C．－43D．－34[答案]A[解析]z1·z－2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1·z2是实数，所以4t－3＝0，所以t＝34.因此选A.3．函数)(xfy在一点的导数值为0是函数)(xfy在这点取极值的（）A.充分不必要条件B.不能判断C.充要条件D.必要不充分条件4．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16[答案]A[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.5．已知三次函数f(x)＝13x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m的取值范围是()A．m2或m4B．－4m－2C．2m4D．以上皆不正确[答案]D[解析]f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)≤0，∴2≤m≤4，故选D.6．函数32()cossincos,fxxxx在[0,2)上是的最大值为高二数学理科综合能力单元过关检测选修2-22014-032A.427B.827C.1627D.32277．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0，则当axb时有()A．f(x)g(x)f(b)g(b)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(b)f(b)g(x)D．f(x)g(x)f(a)g(x)[答案]C[解析]令F(x)＝fxgx则f′(x)＝f′xgx－fxg′xg2x0∵f(x)、g(x)是定义域为R且恒大于零∴F(x)在R上为单调递减函数，当x∈(a，b)时，fxgxfbgb∴f(x)g(b)f(b)g(x)．故应选C.8．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.02(x2－1)dxB．|02(x2－1)dx|C.02|x2－1|dxD.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx[答案]C[解析]y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.题号12345678答案ABDBADAC二、填空题9．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，则实数x+y的值为________．[答案]x＝1，y＝1[解析]原式可以化为高二数学理科综合能力单元过关检测选修2-22014-033(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i，根据复数相等的充要条件，有3y－2x＝1，x－10y＝－9.解得x＝1，y＝1.10.曲线2xy在(1,1)处的切线方程是____012yx____11.设Z＝iaaaaa)152(54522为实数时，实数a的值是___3______12．(2010·江苏南通)计算1e1xdx＝________.[答案]1[解析]1e1xdx＝lnx|e1＝lne－ln1＝1.13．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．[答案]18[解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2＝2xy＝x－4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝4－2(y＋4－y22)dy取F(y)＝12y2＋4y－y36，则F′(y)＝y＋4－y22，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.14．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．[答案]－2[解析]本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k＝y′|x＝1＝n＋1，∴切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)，高二数学理科综合能力单元过关检测选修2-22014-034令y＝0，x＝nn＋1，∴an＝lgnn＋1，∴原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100＝lg12×23×…×99100＝lg1100＝－2.三．解答题15.已知复数)1(216)2(2iimmiz。当实数m取什么值时，复数z是(1)虚数；(2)纯虚数；(3)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。15.解：由于Rm，复数z可表示为)1(2)1(3)2(2iimmiz22(232)(32)mmmmi(1)当0232mm即2m且1m时，z为虚数。(2)当023023222mmmm即21m时，z为纯虚数。(3)当)23()23222mmmm即0m或2m时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。16．（１２分）已知函数23bxaxy，当x=1时，有极大值3。（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值。16.解：（1）则题意0)1(f，3)1(f；∵bxaxxf23)(2，∴023)1(baf，又3)1(baf，解得9,6ba；（2）由上题得2396)(xxxf，)1(181818)(2xxxxxf；当0)(xf得x=0或x=1，当0)(xf得0x1当0)(xf得x0或x1；∴函数2396)(xxxf有极小值0)0(f.17．(本题满分14分)(2010·江西理，19)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．[解析]函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a，(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x2－x，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；高二数学理科综合能力单元过关检测选修2-22014-035(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx2－x＋a0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.18、已知函数f(x)=x3-12x2-2x+5(1)求函数的单调区间。(2）求函数在[-1,2]区间上的最大值和最小值。18解：（1）2()32fxxx由()0fx得23x或1x,故函数的单调递增区间为（-∞，-23），（1，+∞）；由()0fx得213x故函数的单调递减区间为（23，1）（2）由（1）知2157()327f是函数的极大值，(1)3.5f是函数的极小值；而区间[-1，2]端点的函数值11(1),(2)72ff故在区间[-1，2]上函数的最大值为7，最小值为3.519．（１４分）在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？19.解：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm,则∵BD=40,AC=50－x,∴BC=222240xCDBD又设总的水管费用为y元，依题意有：y=30(5a－x)+5a2240x(0＜x＜50)y′=－3a+22405xax,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.20.已知a为实数，函数2()(1)()fxxxa．(1)若(1)0f，求函数y()fx在[－32，1]上的极大值和极小值；(2)若函数()fx的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．20.解：(Ⅰ)∵(1)0f，∴3210a，即2a．∴21()3413()(1)3fxxxxx．由()0fx，得1x或13x；由()0fx，得113x．高二数学理科综合能力单元过关检测选修2-22014-036因此，函数()fx的单调增区间为3(1)2，，1(1)3，；单调减区间为1(1)3，．()fx在1x取得极大值为(1)2f；()fx在13x取得极小值为150()327f．(Ⅱ)∵32()fxxaxxa，∴2()321fxxax．∵函数()fx的图象上有与x轴平行的切线，∴()0fx有实数解．∴244310aD，∴23a，即33aa或．因此，所求实数a的取值范围是(3][3)，，．21．(本题满分14分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)．(1)若函数y＝f(x)在区间0，23上递增，在区间23，＋∞上递减，求a的值；(2)当x∈[0,1]时，设函数y＝f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的图象与函数y＝f(x)的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由．[解析](1)依题意f′23＝0，由f′(x)＝－3x2＋2ax，得－3232＋2a·23＝0，即a＝1.(2)当x∈[0,1]时，tanθ＝f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x－a32＋a23.由a∈32，＋∞，得a3∈12，＋∞.①当a3∈12，1，即a∈32，3时，f′(x)max＝a23，f(x)min＝f′(0)＝0.此时0≤tanθ≤a23.高二数学理科综合能力单元过关检测选修2-22014-037②当a3∈(1，＋∞)，即a∈(3，＋∞)时，f′(x)max＝f′(1)＝2a－3，f′(x)min＝f′(0)＝0，此时，0≤tanθ≤2a－3.又∵θ∈[0，π)，∴当32a≤3时，θ∈0，arctana23，当a3时，θ∈[0，arctan(2a－3)]．(3)函数y＝f(x)与g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的图象恰有3个交点，等价于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1恰有3个不等实根，∴x4－4x3＋(1－m)x2＝0，显然x＝0是其中一个根(二重根)，方程x2－4x＋(1－m)＝0有两个非零不等实根，则Δ＝16－41－m01－m≠0∴m－3且m≠1故当m－3且m≠1时，函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有3个交点．