高中数学选修4-1复习题【教师版】

高中数学选修4-1练习题(一)1．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝6，DB＝5，则AD的长为________．解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AB·AD.设AD＝x，则AB＝x＋5，又AC＝6，∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36＝0.解得x＝4或x＝－9(舍去)，∴AD＝4.2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于________．解析：设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得AFAC＝FECB，即x2＝1－x1，所以x＝23，于是AFFC＝12.3．如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面积为6，则△ADF的面积为________．解析：由题意可得△AEF∽△CDF，且相似比为1∶3，由△AEF的面积为6，得△CDF的面积为54，由题意易知S△ADF∶S△CDF＝1∶3，所以S△ADF＝18.4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，DE∥BC且DE把△ABC的周长分为相等的两部分，则DE＝________.解析：∵∠BAC＝90°，∴BC＝5cm.设AD＝xcm，AE＝ycm，则x＋y＝6.①∵DE∥BC，得ADAB＝AEAC，即x4＝y3.②由①②得x＝247，y＝187，∴DE＝x2＋y2＝307cm.5．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析：连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝a2.又CD＝a2，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝a2.6．如图，在直角梯形ABCD中，上底AD＝3，下底BC＝33，与两底垂直的腰AB＝6，在AB上选取一点P，使△PAD和△PBC相似，这样的点P有________个．解析：设AP＝x，(1)若△ADP∽△BPC，则ADBP＝APBC，即36－x＝x33，所以x2－6x＋9＝0，解得x＝3.(2)若△ADP∽△BCP，则ADBC＝APBP，即333＝x6－x，解得x＝32，所以符合条件的点P有两个．7．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.证明：过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN＝12BF.∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴AEAF＝DEDN.又DN＝12BF，∴AEAF＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF.8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求OEAD＋OEBC的值；(3)求证：1AD＋1BC＝2EF.解析：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC，∴OEBC＝AEAB，OFBC＝DFDC.∵EF∥AD∥BC，∴AEAB＝DFDC.∴OEBC＝OFBC，∴OE＝OF.(2)∵OE∥AD，∴OEAD＝BEAB.由(1)知，OEBC＝AEAB，∴OEAD＋OEBC＝BEAB＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知OEAD＋OEBC＝1，∴2OEAD＋2OEBC＝2.又EF＝2OE，∴EFAD＋EFBC＝2，∴1AD＋1BC＝2EF.9．一块直角三角形木板，如图所示，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解析：如图(1)所示，设正方形DEFG的边长为xcm，过点C作CM⊥AB于M，交DE于N，因为S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CM，所以AC·BC＝AB·CM，即4×3＝5·CM，所以CM＝125.因为DE∥AB，所以△CDE∽△CAB.所以CNCM＝DEAB，即125－x125＝x5.所以x＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF的边长为ycm，因为EF∥AC，所以△BEF∽△BAC.所以BFBC＝EFAC，即3－y3＝y4，所以y＝127.因为x＝6037，y＝127＝6035，所以xy.所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.高中数学选修4-1练习题(二)1.(2012·汕头模拟)如图：PA切圆O于点A，PA=4，PBC过圆心O，且与圆相交于B、C两点，AB∶AC=1∶2,则圆O的半径为______.【解析】∵PA是切线，∴∠BAP=∠ACP,∵∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA,则ABPAACPC,即142PC,∴PC=8.设圆的半径为r,由切割线定理PA2=PB·PC得，16=(8-2r)×8.解出r=3.2.如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为______.【解析】连接OC，因为CD切圆O于点C，所以OC⊥CD，因为∠A=30°,所以∠COD=60°，所以∠D=30°3.(2011·广东高考)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=______.【解题指南】利用相似三角形对应边成比例，求得AB的值.【解析】∵∠PAB=∠ACB,又∠BAC=∠APB，∴△ABP∽△CBA,∴ABPBBCAB,从而AB2=PB·BC=7×5=35,∴AB=35.4.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22,AB=3，则切线AD的长为____.【解析】作OE⊥BC垂足为E，连接OC，由题意知，OC=3，OE=22，则CE=BE=1，所以AC=5，由切割线定理得，AD2=AB·AC=15，所以AD=15.5.(2012·中山模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=27，AB=BC=3，则AC=______.【解析】∵CD是切线，∴CD2=BD·(BD+AB)，即28=BD2+3BD，∴BD=4，又∠1=∠A,∠D为公共角，∴△ACD∽△CBD,∴ACCDCBBD,∴CBCD32737AC.BD426.(2011·天津高考)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点，且DF=CF=2，AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为______.【解题指南】利用相交弦及切线的比例关系求解.【解析】设BE=x,则AF=4x,FB=2x,因为AF·FB=DF·FC，所以8x2=2,x=12，又CE2=BE·AE，即7CE7x2.7.如图，PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC=4，PB=8，∠B=30°,则BC=______.【解析】连接AC，∵PC2=PA·PB，∴PA=2，∠ACP=∠B=30°,在△PAC中，由正弦定理得24sin30sinPAC,∴sin∠PAC=1,从而∠PAC=90°,∠P=60°,∠PCB=90°,∴22BCPBPC43.8.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.若△ABC的面积S=12AD·AE，则∠BAC=______.【解析】由已知条件，可得∠BAE=∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.所以ABADAEAC，即AB·AC=AD·AE.又S=12AB·ACsin∠BAC,且S=12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC=AD·AE，则sin∠BAC=1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC=90°.9.如图，已知A、B、C、D、E五点都在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C=______.【解析】∠A+∠B+∠C=12(CD的度数+DE的度数+EA的度数)=12×180=90°.10.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于E，∠ACD=60°,∠ADC=45°，则∠AEC=______.【解析】连接BC，由AB是⊙O的直径知∠ACB=90°,∵∠ACD=60°,∴∠DCB=30°,BD的度数=60°,∵∠ADC=45°,∴AC的度数=90°，∴∠AEC=12(BD的度数+AC的度数)=75°.11.如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与PQ相交于Q点，若AQ=6，AC=5，则弦AB的长是______.【解析】∵PQ为切线，∴∠PAC=∠ABC,∵AC是∠PAB的平分线，∴∠BAC=∠PAC.∴∠ABC=∠BAC,∴BC=AC=5,由切割线定理，可得AQ2=QB·QC，∴62=QB·(QB+5)，解得QB=4.∵∠QAB=∠QCA,∴△QAB∽△QCA,∴ABQAACQC,12.如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为______.【解析】∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2=EA·EB.又∵EA=1,ED=2,∴EB=4,又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD=CB.在Rt△EBC中，设BC=x,则EC=x+2.由勾股定理：EB2+BC2=EC2，得42+x2=(x+2)2,得x=3,∴BC=3.13．如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于BC，两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点．（Ⅰ）证明APOM，，，四点共圆；（Ⅱ）求OAMAPM的大小．（Ⅰ）证明：连结OPOM，．因为AP与O相切于点P，所以OPAP．因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC．于是180OPAOMA°．由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以APOM，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得APOM，，，四点共圆，所以OAMOPM．由（Ⅰ）得OPAP．由圆心O在PAC的内部，可知90OPMAPM°．所以90OAMAPM°APOMCBAPOMCB14：已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E（1）求证：FA∥BE（2）求证：APFAPCAB（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值。证明：（1）在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O∴OA=OF∴∠OAF=∠F∵∠B=∠F∴∠OAF=∠B∴FA∥BE（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦∴∠PAC=∠F∵∠C=∠C∴△APC∽△FAC∴∴∵AB=AC∴（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则有AC2=CP•CF=CP（CP+PF），∵PF=AB=AC=2∴CP（CP+2）=4整理得CP2+2CP-4=0,解得CP=-1±∵CP0∴CP=∵FA∥BE∴∠CPE=∠F∵FP为⊙O的直径∴∠FAP=900由（2）中证得在Rt△FAP中，tan∠F=∴tan∠CPE=tan∠F=