高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生试从“栓牛吃草”模型衍生出的演变及应用

1辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生试从“栓牛吃草”模型衍生出的演变及应用摘要：本论题从一个简单的“栓牛吃草”的模型，进行演变，是探讨改变不同因素时的最佳方案。以此结论，适用至农业生产，灌溉，军事扫射等领域。一、问题提出“栓牛吃草”是指在一块圆形草地上，因收到栓绳绳长的限制，讨论栓点的位置，使得牛吃到适合的一定量的草。再次模型的基础上，增加难度，改变草地半径，草地个数，栓绳长度等因素，进行新的拓展研究。二、模型介绍模型假设：1、假设栅栏是一个完整的圆，同时园内园外都是草皮。2、假设牛可以充分的吃到任何角落的草。3、假设牛可以360度的旋转，牛吃草的范围也是一个完整的圆。4、栓牛绳不可伸长，因为牛的旋转角度而缩短的角度可以忽略不计5、本题中，牛的大小、桩子的大小都视为质点、可以忽略不计。对于问题一的分析：我们用几何图形模拟牛吃草的范围。假设栅栏为一个圆形，设圆心为O，半径为R，栓牛的桩子在C点（其中，C点圆中的任意一点，）CD为栓牛的绳长，圆C是牛吃草的面积。其中圆C与圆A是内含关系。对于问题二的分析：同样是圆A为栅栏范围，由于两圆连心线长度与两圆半径的关系，此时圆A与圆C相交。牛能够吃到草的面积即为中间叶形重叠部分的面积。衍生问题的分析：牛吃圈内的草由两个圆可以增加难度，变为三个，甚至四个……对于问题三的分析：两个圆形草地可以看作是两个半径不等的圆。且两圆相离，圆心距固定。假设栓绳的扫过面积是一个圆形，且该圆形的半径是固定的，圆形与两个花圃都是相交的关系。这时计算相交部分的面积，进而求出栓点位置。三、建模过程1）问题一21.1如图1.1所示，假设大圆A为草地，大圆半径AB=R,一头牛被栓在C点，栓绳长CD=x,牛所吃草的面积占大圆面积的a（0＜a＜1)，求栓绳长。分析：由于小圆Ｃ内含于圆Ａ，所以无需考虑圆心距ＡＣ。可列出方程22xaR，解得xaR这种情况较为简单。２）问题二2.1如图2.1所示，假设大圆A为草地，大圆半径为ＡＢ＝R,一头牛被栓在C点，栓绳长CD=x,ＡＣ＝Ｌ，牛所吃草的面积占大圆面积的a（0＜a＜1)，求栓绳长。解法一：分析：为便于计算，令R=2，L=1.5,a=0.2根据题目,用几何方法可得出方程222222222220.5arccossin(arccos)cos(arccos)222RlxRlxRlxRRRlRlRl3222222222220.5arccossin(arccos)cos(arccos)222xlRxlRxlRxxlxlxlx2aR根据方程，可以得出各变量之间的关系，从而根据具体情况，实际应用，将R,L,a值带入，通过求函数图象的交点，求解。打开CG20图形函数功能，输入函数2222222222221.521.521.5()0.5arccos22sin(arccos)cos(arccos)666xxxfx2222222222221.521.521.520.5arccossin(arccos)cos(arccos)0.22333xxxxxxxx2.2如图2.2，可得x=2.850514146为该函数零点，所以栓绳长为2.850514146。运用CG20的函数图象功能，将复杂的方程简易求解方法二运用定积分的方法:便于表示，栓绳长为r，则222222(),()xyRRxyRlr22222222()()(,)42rRlrRlRll交点坐标lRxryRxRy222221记allRrR2222224)(aaaaDdxlxRxrdxyydxdyS)()(2222124aaaaaaldxdxxRdxxr2222aaadxxrdxxr022222,令trxsin,上式ratdtrtrarcsin0coscos2rarararadtrtdtrdttrtdtrarcsin02arcsin02arcsin02arcsin02212cos)12(coscos2)0(arcsin|cossin||2sin22arcsin02arcsin02arcsin02rarttrtrtrrararararrarararcsin]0cos0sin)cos(arcsin)n[sin(arcsi22rararararrarrararcsinarcsin2222222同理可得:RaRaRadxxRaaarcsin22222alaalxlldxaaaa2)]([|2222aaaaaaSrxdxRxdxldx222222arcsinarcsin2aaararaRaRalrRRaRrarlaRaraarcsinarcsin)2(222222把lrlRlRllRrRa2)(44)(222222222222代入并化简,得22222222222222222222222222222222[44()5]4()44()4()arcsinarcsin22rlRlRlrrRlRlRlrSlRlRlrRlRlrrRrlRl由2SaR即可解得r定积分的方法可以得到较为普遍的结论思路衍生：问题三如图3.1所示，有草地圆Ｅ和圆Ｃ分别与圆Ａ相交，E,A,C三点共线，圆Ｅ半径为ａ，圆Ｃ半径为ｂ，ＥＣ＝Ｌ，Ａ点为栓绳处，可移动，栓绳长为c，问：Ａ点位置在何处时，栓绳扫过面积最大？53.1设AE=x同问题二，利用几何方法表示相交部分的面积为便于表示，记222arccos2axcax222arccos2cxacx222()arccos2()blxcblx可得函数：22220.5sincos0.5sincosSaacc22220.5sincos0.5sincosccbb同样地，得出了各变量之间的关系抽象问题具体化，令a=2b=4L=8c=3带入上式3.2如图3.2，可知极大值为25.31987318，取到极大值时x=1.016858048所以，栓点距离E圆圆形1.016858048222()arccos2()clxbclx6*三圆亦可用定积分方法，方法同理，见情况二。四﹑生活生产中的现实意义1、在牛的栓绳长度固定时怎样让牛吃到尽可能多的草。2、在花圃形状固定、喷灌的最大半径固定时，如何让喷灌更充分。3、如果有多个喷灌龙头，怎样让重复喷灌的面积减到最小？