高中数学选修人教A导学案第3章空间向量与立体几何§3.1.1空间向量及其加减运算

1讲练学案部分§3.1.1空间向量及其加减运算.知识点一空间向量的概念判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB与AC是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC与BC共线，虽起点不同，但终点却相同.【反思感悟】解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC答案B解析|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB+AD=AC，只有平行四边形才能成立.故A、C、D.知识点二空间向量的加、减运算如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．2（1）1AA+11BA；（2）2111BA+2111DA；（3）1AA+2111BA+11DA；（4）AB+BC+1CC+11AC+AA1;解（1）11AABB=1AB.（2）11111122ABAD11111()2ABAD11112ACAM（3）111111122AAABAD11AAAMAM（4）1110ABBCCCCA【反思感悟】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为0..已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式:(1)';AACB(2)'''''ABBCCD解(1)'AACB='AABC='''AAADADA(2)''''''ABBCCDAD知识点三向量加减法则的应用在如图所示的平行六面体中，求证：''2'ACABADAC证明∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴,ACABAD'',ABABAAAD′→＝AD→＋AA′→.∴''ACABAD(')ADAA()(')ABADABAA=2('),ABADAA又由于AB＝CC′→，AD→＝BC→，∴AB＋AD→＋AA′→=AB＋BC→＋CC′→=AC＋CC′→＝AC′→，∴AC＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.【反思感悟】在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量AC′→='ABADAA,该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法则).在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段.（1）AB＋AD→＋1AA;；（2）11ABCCDD;.解如图，3（1）AB＋AD→＋1AA=11ACAAAC;(2)11ABCCDD=111111ABBBAAABAAAB图中1AC，11AB为所求.课堂小结：1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a－b表示的是由减数b的终点指向被减数a的终点的一条有向线段．课时作业一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为()A．2B．3C．4D．5答案C解析①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．2.已知向量AB，AC→，，AC→，BC→满足|AB→|＝|AC→|＋|BC→|，则()A．AB＝AC→＋BC→B．AB＝－AC→－BC→C．AC→与BC→同向D．AC→与CB→与CB→同向答案D解析由|AB|=|AC→|+|BC→|=|AC→|+|CB→|,知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC→与CB→与CB→同向3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式1DDABBC化简后的结果是（）A.1BDB.1DBC.1BDD.1DB4答案A解析如图所示，因1DD＝AA1→，DD1→－AB→＝AA1→－AB→＝1BA，1BA＋BC→＝BD1→，∴1DD－AB→＋BC→＝BD1→.4．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A.EB＋BF→＋EH→＋GH→＝0B.EB＋FC→＋EH→＋GE→＝0C.EF＋FG→＋EH→＋GH→＝0D.EF－FB→＋CG→＋GH→＝0答案B解析如图所示，EB＋FC→＋EH→＋GE→＝(EB＋BF→)＋(GE→＋EH→)=EF＋FE→＝0.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量1BD的是（）①(11AD－A1A→)－AB→；②(BC＋BB1→)－D1C1→；③（AD－AB→)－2DD1→；④（11BD－A1A→)＋DD1→.A．①②B．②③C．③④D．①④答案A(11AD－A1A→)－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→.(BC＋BB1→)－D1C1→＝BC1→＋C1D1→＝BD1→.∴①、②正确．二、填空题56.如图所示a，b是两个空间向量，则AC与A′C′→与A′C′→是________向量，AB→与B′A′→是________向量．答案相等相反7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简向量表达式AB→+CD+BCDA的结果为________．答案0解析AB→＋CD→＋BC→＋DA→＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DA→)=AC＋CA→＝0.三、解答题8．如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简（1）AB→＋BC→＋CD→，（2）AB→＋GD→＋EC→，并标出化简结果的向量．解（1）AB→＋BC→＋CD→=AC＋CD→＝AD→.(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB中点．∴BE＝EC→，EF→＝GD→.∴AB→＋GD→＋EC→=AB→＋BE→＋EF→=AF9.已知ABCD是空间四边形,M和N分别是对角线AC和BD的中点.求证:MN=1()2ABCD证明MN=MAABBN又MN=ABMCDN,∴2MN=()()MAMCABCDBNDN由于M,N分别是AC和BD的中点,所以．MAMC=0.∴MN＝12(AB→＋CD→)．10．设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．6求证：1(3AGABAC→＋AD→)．证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知23BGBE∵E为CD的中点，∴BE＝12BC→＋12BD→.∴AG＝AB→＋BG→=AB→＋23BE→=AB→＋13(BC＋BD→)=AB→+1()()3ACABADAB=13(AC→＋AC→＋AD→)．