高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解

高考总复习含详解答案高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题1．(2010·湖南文，4)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－ty＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是()A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线[答案]D[解析]由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程x＝－1－ty＝2＋t中的参数t可得，x＋y－1＝0，此方程所表示的图形是直线．2．(2010·北京市延庆县模考)下列参数方程(t为参数)中，与方程y2＝x表示同一曲线的是()A.x＝ty＝t2B.x＝tan2ty＝tantC.x＝ty＝|t|D.x＝tanty＝tan2t[答案]B[解析]将t＝x代入y＝t2得，y＝x2，故A错，将tant＝y代入x＝tan2t中得，x＝y2，∵tant∈R，故B正确，C、D容易判断都是错的．[点评]注意C中x＝ty＝|t|，消去t得y＝|x|，平方得y2＝|x|，∵y2≥0限定了x的取值必须非负，∴y2＝x，但由于y＝|x|，故它必须满足y≥0，而y2＝x中的y∈R.3．将曲线y＝12sin3x变为y＝sinx的伸缩变换是()A.x＝3x′y＝12y′高考总复习含详解答案B.x′＝3xy′＝12yC.x＝3x′y＝2y′D.x′＝3xy′＝2y[答案]D4．(2010·延边州质检)直线x＝1＋2ty＝1－2t(t为参数)被圆x＝3cosαy＝3sinα(α为参数)截得的弦长为()A．27B.7C．47D．2[答案]A[解析]将直线x＝1＋2ty＝1－2t化为普通方程得x＋y＝2，将圆x＝3cosαy＝3sinα化为普通方程得x2＋y2＝9.圆心O到直线的距离d＝|0＋0－2|12＋12＝2，所以弦长l＝2R2－d2＝27.5．(2010·安徽合肥六中)已知圆C的参数方程为x＝－1＋cosαy＝1＋sinα(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为()A.13B.15C．－13D．－15[答案]D[解析]⊙O的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C(－1,1)，又直线kx＋y＋4高考总复习含详解答案＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线距离最大，∵kCA＝－5，∴－k＝15，∴k＝－15.6．(2010·重庆一中)曲线x2＋y2＝4与曲线x＝－2＋2cosθy＝2＋2sinθ(θ∈[0,2π))关于直线l对称，则l的方程为()A．y＝x－2B．y＝xC．y＝－x＋2D．y＝x＋2[答案]D[解析]圆x2＋y2＝4的圆心C(0,0)，圆x＝－2＋2cosθy＝2＋2sinθ，θ∈[0,2π)的圆心O(－2,2)，∵⊙O与⊙C关于直线l对称，∴l为线段OC的中垂线，∵kOC＝－1，∴kl＝1，∴l方程为：y－1＝x－(－1)，即y＝x＋2.二、填空题7．(2010·广东罗湖区调研、中山市、惠州一中模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．[答案]ρcosθ＝3[解析]解法一：圆ρ＝6cosθ的圆心极坐标(3,0)，∴直线l方程为ρcosθ＝3.解法二：由ρ2＝6ρcosθ得x2＋y2＝6x，圆心C(3,0)，∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为x＝3，其极坐标方程为ρcosθ＝3.[点评]1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形式是基本方法，故应熟记互化公式．2．掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要．高考总复习含详解答案8．(2010·广东佛山顺德区质检)若直线x＝－1＋2ty＝－1－t(t为参数)被曲线x＝1＋3cosθy＝1＋3sinθ(θ为参数)所截，则截得的弦的长度是________．[答案]655[解析]直线x＝－1＋2ty＝－1－t化为x＋2y＋3＝0；圆x＝1＋3cosθy＝1＋3sinθ化为(x－1)2＋(y－1)2＝9，圆心C(1,1)到直线x＋2y＋3＝0距离d＝655，半径r＝3，∴弦长为2r2－d2＝655.9．以椭圆x225＋y216＝1的焦点为焦点，以直线x＝2ty＝4t为渐近线的双曲线的参数方程为________________．[答案]x＝secθy＝22tanθ(θ≠kπ＋π2)[解析]∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c＝3，又直线x＝2ty＝4t化为y＝22x，它是双曲线的渐近线，∴ba＝22，∴a2＝1，b2＝8，∴a＝1，b＝22，∴双曲线的参数方程为x＝secθy＝22tanθ(θ≠kπ＋π2)．10．(2010·惠州质检)直线x＝3＋tcos230°y＝－1＋tsin230°(t为参数)的倾斜角是________．[答案]50°[解析]解法一：当x≠3时，x－3＝tcos230°y＋1＝tsin230°⇒y＋1x－3＝tan230°＝tan(180°＋50°)＝tan50°，∴直线倾斜角是50°.解法二：方程化为x＝3－tcos50°y＝－1－tsin50°，∴倾斜角为50°.高考总复习含详解答案11．(2010·江门市质检)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是x＝cosθy＝sinθ＋m(m是常数，θ∈(－π，π]是参数)，若曲线C与x轴相切，则m＝________.[答案]±1[解析]∵⊙C：x2＋(y－m)2＝1与x轴相切，∴m＝±1.12．(2010·广东玉湖中学)椭圆x＝3cosθy＝4sinθ的离心率是________．[答案]74[解析]由已知可得椭圆的普通方程为x29＋y216＝1，∴a＝4，b＝3，c＝7，e＝ca＝74.13．(2010·北京顺义一中月考)已知曲线C1：x＝3＋2cosθy＝2＋2sinθ(θ为参数)，曲线C2：x＝1＋3ty＝1－4t(t为参数)，则C1与C2的位置关系为________．[答案]相离[解析]圆C1：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心C1(3,2)到直线C2：4x＋3y－7＝0的距离d＝1152，∴C1与C2相离．14．(2010·惠州质检)在极坐标系中，过点22，π4作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程为______．[答案]ρcosθ＝2[解析]点22，π4的直角坐标x＝22cosπ4＝2，y＝22sinπ4＝2，圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x＝2，即ρcosθ＝2.三、解答题15．(2010·江苏盐城调研)以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度)，已知点A的直角坐标为(－2，6)，点B的极坐标为4，π2，直线l过点A且倾斜角为π4，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．高考总复习含详解答案[解析]∵直线l过点(－2,6)，倾斜角为π4，∴直线l的参数方程为x＝－2＋22ty＝6＋22t(t为参数)，又圆心B的直角坐标为(0,4)，半径为4，∴圆C的直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，将x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ代入化简得圆C的极坐标方程为ρ＝8·sinθ.16．(2010·苏北四市模考)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．[解析]因为直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)所以直线l的普通方程为y＝3x，又因为曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝1＋cos2α(α为参数)所以曲线C的直角坐标方程为y＝12x2(x∈[－2,2])，由y＝3xy＝12x2解得，x＝0y＝0，或x＝23y＝6，∵－2≤x≤2，∴x＝23y＝6应舍去，故P点的直角坐标为(0,0)．17．(2010·哈师大附中)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l被曲线C所截的弦长．高考总复习含详解答案[解析]将方程x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)化为普通方程得，3x＋4y＋1＝0，将方程ρ＝2cosθ＋π4化为普通方程得，x2＋y2－x＋y＝0，它表示圆心为12，12，半径为22的圆，则圆心到直线的距离d＝110，弦长为2r2－d2＝212－1100＝75.