高中数学高考总复习等差数列习题及详解

高考总复习含详解答案高中数学高考总复习等差数列习题及详解一、选择题1．(2010·宁夏)一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则ab等于()A.14B.12C.13D.23[答案]C[解析]2x＝a＋b2b＝x＋2x，∴a＝x2，b＝32x.∴ab＝13.2．(文)(2010·茂名市模考)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S4等于()A.45B.15C.120D.56[答案]A[解析]∵an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45，故选A.(理)已知等差列{an}共有2008项，所有项的和为2010，所有偶数项的和为2，则a1004＝()A．1B．2C.1502D.1256[答案]B[解析]依题意得2008a1＋a20082＝2010，a1＋a2008＝1005502，1004a2＋a20082＝2，a2＋a2008＝1251，故a2－a1＝－1003502＝d(d为公差)，又a2＋a2008＝2a1005，∴a1005＝1502，a1004＝a1005－d＝1502＋1003502＝2.高考总复习含详解答案3．(文)(2010·山东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为()A．12B．8C．6D．4[答案]B[解析]由等差数列性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8.∴m＝8.故选B.(理)(2010·温州中学)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．43D．27[答案]B[解析]由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45.4．(2010·浙江省金华十校)等差数列{an}中，Sn是{an}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S15＝()A．15B．30C．45D．60[答案]A[解析]解法1：由等差数列的求和公式及S6＝2S9＝5知，6a1＋6×52d＝29a1＋9×82d＝5，∴a1＝－127d＝427，∴S15＝15a1＋15×142d＝15.解法2：由等差数列性质知，{Snn}成等差数列，设其公差为D，则S99－S66＝3D＝59－26＝29，∴D＝227，∴S1515＝S99＋6D＝59＋6×227＝1，∴S15＝15.5．(文)(2010·福建福州一中)设数列{an}的通项公式为an＝20－4n，前n项和为Sn，则Sn中最大的是()高考总复习含详解答案A．S3B．S4或S5C．S5D．S6[答案]B[解析]由an＝20－4n≥0得n≤5，故当n5时，an0，所以S4或S5最大，选B.(理)(2010·山师大附中)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18[答案]B[解析]∵3d＝(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝99－105＝－6，∴d＝－2，由a1＋a3＋a5＝105得3a1＋6d＝105，∴a1＝39，∴an＝39－2(n－1)＝41－2n，由an≥0，n∈N得，n≤20，∴a200，a210，故选B.6．(文)(2010·辽宁锦州)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a72＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．2B．4C．8D．16[答案]D[解析]∵2a3－a72＋2a11＝0，{an}为等差数列，∴a72＝2(a3＋a11)＝4a7，∵{bn}为等比数列，b7＝a7，∴a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b6b8＝b72＝16.(理)(2010·重庆市)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则()A．S6＝－12S3B．S6＝－2S3C．S6＝12S3D．S6＝2S3[答案]C[解析]∵S3、S9、S6成等差数列，∴2S9＝S3＋S6，∵Sn是等比数列{an}前n项的和，∴2q9＝q3＋q6，∵q≠0，∴2q6＝1＋q3，∴q3＝1或－12，q3＝1时，S3、S9、S6不成等差数列，应舍去，∴q3＝－12，∴S6＝(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3)q3＝S3(1＋q3)＝12S3.7．(2010·重庆中学)数列{an}中，a1＝3，a2＝7，当n≥1时，an＋2等于an·an＋1的个位数字，则a2010＝()A．1B．3C．7D．9高考总复习含详解答案[答案]D[解析]由条件知，a1＝3，a2＝7，a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，……可见{an}是周期为6的周期数列，故a2010＝a6＝9.8．(2010·广东五校、启东模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2010，其前n项的和为Sn.若S20092009－S20072007＝2，则S2010＝()A．－2010B．－2008C．2009D．2010[答案]A[解析]∵S20092009－S20072007＝2，∴(a1＋1004d)－(a1＋1003d)＝2，∴d＝2，∴S2010＝2010a1＋2010×20092d＝－2010.9．(文)将正偶数按下表排成4列：第1列第2列第3列第4列第1行2468第2行16141210第3行18202224……2826则2010在()A．第502行，第1列B．第502行，第2列C．第252行，第4列D．第251行，第4列[答案]C[解析]2010是第1005个偶数，又1005＝8×125＋5，故前面共排了125×2＋1＝251行，余下的一个数2010应排在第4列．(理)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2011的值是()A．2008×2009B．2009×2010C．2010×2011D．2011×2012[答案]C[解析]解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：a1＝0×1a2＝1×2a3＝2×3a4＝3×4猜想a2011＝2010×2011，故选D.解法2：an－an－1＝2(n－1)，高考总复习含详解答案an－1－an－2＝2(n－2)，…a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．＝2n－1n－1＋12＝n(n－1)．∴a2011＝2010×2011.10．在函数y＝f(x)的图象上有点列(xn，yn)，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝2x＋1B．f(x)＝4x2C．f(x)＝log3xD．f(x)＝34x[答案]D[解析]对于函数f(x)＝34x上的点列(xn，yn)，有yn＝34xn，由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此yn＋1yn＝34xn＋134xn＝34xn＋1－xn＝34d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．故选D.二、填空题11．一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．[答案]11[解析]∵a1＋a2＋a3＋a4＝26，an＋an－1＋an－2＋an－3＝110，∴a1＋an＝26＋1104＝34，又∵Sn＝na1＋an2＝187，∴n＝11.12．已知数列{an}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，设bn＝1anan＋1，那么数列{bn}的前n项和Sn＝________.[答案]4nn＋1[解析]由条件知an＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1＝n2，∴bn＝4nn＋1＝41n－1n＋1，高考总复习含详解答案∴Sn＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝4nn＋1.13．(09·上海)已知函数f(x)＝sinx＋tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈－π2，π2，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，则当k＝_______________时，f(ak)＝0.[答案]14[解析]∵f(x)＝sinx＋tanx为奇函数，且在x＝0处有定义，∴f(0)＝0.∵{an}为等差数列且d≠0，且f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，∴an(1≤n≤27，n∈N*)对称分布在原点及原点两侧∴f(a14)＝0.∴k＝14.14．给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a55＝5，则表中所有数之和为______．a11a12…a19a21a22…a29…………a91a92…a99[答案]405[解析]S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.三、解答题15．(09·安徽)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设cn＝an2·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1cn.[解析](1)a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.又a1＝4适合上式，∴an＝4n(n∈N*)．将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，∴T1＝b1＝1.当n≥2时，Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn，∴bn＝Tn－Tn－1＝bn－1－bn，∴bn＝12bn－1，∴bn＝21－n.(2)解法1：由cn＝an2·bn＝n2·25－n，高考总复习含详解答案得cn＋1cn＝121＋1n2.当且仅当n≥3时，1＋1n≤432，即cn＋1cn.解法2：由cn＝an2·bn＝n2·25－n得，cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]．当且仅当n≥3时，cn＋1－cn0，即cn＋1cn.16．(2010·山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1an2－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.[分析](1)由条件和等差数列的通项公式可列出关于a1、d的方程组解出a1和d，代入通项公式及前n项和公式可求得an，Sn.(2)由an可得bn，观察bn的结构特点可裂项求和．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有a1＋2d＝72a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1；Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1an2－1＝12n＋12－1＝14·1nn＋1＝14·1n－1n＋1，所以Tn＝14·1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝14·1－1n＋1＝n4n＋1，即数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.[点评]数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积．本题应用了裂项求和．17．(文)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2＋n－4.(1)求证{an}为等差数列；(2)求{an}的通项公式．[分析]利用an与Sn的关系及条件式可消去Sn(或an