高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《2.3.1离散型随机变量的均值》评估训练

2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值双基达标限时20分钟1．已知ξ的分布列为ξ－1012P14381418则ξ的均值为()．A．0B．－1C.18D.14解析E(ξ)＝－1×14＋0×38＋1×14＋2×18＝14.答案D2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()．A．100B．200C．300D．400解析由题意可知，不发芽的种子数记为Y服从二项分布，即Y～B(1000，0.1)，∴E(Y)＝1000×0.1＝100，所以X的数学期望E(X)＝2×E(Y)＝200.答案B3．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为()．A．6B．5C．1D．7解析∵E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，∴E(X)＝1.答案C4．已知随机变量ξ的分布列为ξ01234P0.10.20.3x0.1则x＝________，P(1≤ξ＜3)＝________，E(ξ)＝________．解析x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；P(1≤ξ＜3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5；E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.答案0.30.52.15．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X是取得红球的次数，则E(X)＝________．解析每一次摸得红球的概率为610＝35，由X～B(4，35)，则E(X)＝4×35＝125.答案1256．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如下：X123456P0.200.100.50.100.10.20(1)求P(X＝3)及P(X＝5)的值；(2)求E(X)；(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．解(1)由分布列的性质可知0．20＋0.10＋0.5＋0.10＋0.1＋0.20＝1.故0.5＋0.1＝0.40.由于小数点后只有两位有效数字，故0.1中处应填5，0.5中的的数字为2.即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15.(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.(3)法一由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，E(η)＝E(X)＝3.50.法二由于η＝2X－E(X)，所以η的分布列如下：η－1.50.52.54.56.58.5P0.200.100.250.100.150.20∴E(η)＝－1.5×0.20＋0.5×0.10＋2.5×0.25＋4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.综合提高(限时25分钟)7．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝()．A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22解析P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.答案B8．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝().X0123P0.1ab0.1A.0.2B．0.1C．－0.2D．－0.4解析由题意得a＋b＋0.1＋0.1＝1，即a＋b＝0.8①又0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.6∴a＋2b＝1.3②②－①得b＝0.5，∴a＝0.3，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2.答案C9．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝______________．解析P(X＝0)＝13×14＝112，P(X＝1)＝23×14＋13×34＝512，P(X＝2)＝23×34＝612，E(X)＝1×5＋2×612＝1712.答案171210．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析设所得两数之积为ξ，则ξ的可能值为0，1，2，4，P(ξ＝0)＝2×12×13＋2×12×16＋12×12＝34，P(ξ＝1)＝13×13＝19，P(ξ＝2)＝2×13×16＝19，P(ξ＝4)＝16×16＝136.所以ξ的分布列为：ξ0124P341919136所以E(ξ)＝0×34＋1×19＋2×19＋4×136＝49.答案4911．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．解(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B4，12.∴P(X＝0)＝C04124＝116，P(X＝1)＝C14124＝14，P(X＝2)＝C24124＝38，P(X＝3)＝C34124＝14，P(X＝4)＝C44124＝116.其分布列为X01234P116143814116(2)∵X～B(4，12)，∴E(X)＝4×12＝2.又由题意可知Y＝2300－100X，∴E(Y)＝E(2300－100X)＝2300－100E(X)＝2300－100×2＝2100(元)．即所求变量Y的数学期望为2100元．12．(创新拓展)某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时，租车费为10元；若行驶路程超出4km，则按每超出1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1km路程计费，不足5分钟的部分不计费)，这个司机一次接送旅客的转换后的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收费用为η.(1)求费用η关于行车路程ξ的关系式；(2)若随机变量ξ的分布列为ξ15161718P0.10.50.30.1求所收费用η的数学期望；(3)已知某旅客实付费用38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计多长时间？解(1)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N；(2)E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴E(η)＝E(2ξ＋2)＝2E(ξ)＋2＝34.8(元)，故所收费用η的数学期望为34.8元．(3)由38＝2ξ＋2，解得ξ＝18，故停车时间t转换的行车路程为18－15＝3km，∴3×5≤t＜4×5，即出租车在途中因故停车累计时间t∈[15，20)．