高中数学随机变量及概率分布

12.4随机变量及概率分布一、填空题1.下列变量为离散型随机变量的是_______．①掷10②④高三（9）班某学生的身高解析①、②、④中的随机变量结果无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量;③中的随机变量的可能取的值都可以按一定次序一一列出，故它是离散型随机变量.答案③2.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为_______．解析X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8,4＋5＝9，共7种．答案73.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝2ka(k＝1,2,3)，则P(X＝2)等于_______．解析∵12a+22a+32a＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝13.答案134．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．解析用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量．当X＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P(X＝4)＝C19C23C312＝27220.答案272205．设随机变量X的概念分布P(X＝k)＝ck＋1，k＝0、1、2、3，则c＝________.解析由P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1得：c1＋c2＋c3＋c4＝1，∴c＝1225.答案12256．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．解析设X的概率分布为：X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝13.答案137．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于________．解析“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝38C911389582＝C9113810582.答案C91138105828．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于________．解析P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－C14C22C36＝45.答案459．连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为34，则射击次数为3的概率为________．解析“X＝3”表示“前两次未击中，且第三次击中”这一事件，则P(X＝3)＝14×14×34＝364.答案36410．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i10，(i＝1,2,3,4)，则P12＜X＜72＝________.解析P12＜X＜72＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝35.答案3511．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.解析法一由已知，X的取值为7,8,9,10，∵P(X＝7)＝C22C12C35＝15，P(X＝8)＝C22C11＋C22C12C35＝310，P(X＝9)＝C12C12C11C35＝25，P(X＝10)＝C22C11C35＝110，∴X的概率分布为X78910P1531025110∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝310＋25＋110＝45.法二P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－C22C12C35＝45.答案4512．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．解析X＝－1，甲抢到一题但答错了．X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，X＝2时，甲抢到2题均答对．X＝3时，甲抢到3题均答对．答案－1,0,1,2,313．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有1人是女生的概率是3435.则n＝________.解析三人中没有女生的概率为C33C3n＋3.∴三人中至少有一人是女生的概率为：1－C33C3n＋3由题意得：1－C33C3n＋3＝3435.解得n＝4.答案4二、解答题14.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．解析由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列．(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.315.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列．解析容易求出X取1,2,3,4时的概率分别为0.9,0.09,0.009,0.0009，当X＝5时，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，不必考虑第5发子弹射中与否，所以P(X＝5)＝0.0001，从而知耗用子弹数X的分布列为X12345P0.90.090.0090.00090.000116．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布．解析(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P＝C14C16＋C24C210＝3045＝23.或用间接法，即P＝1－C26C210＝1－1545＝23.(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P(X＝0)＝C04C26C210＝13，P(X＝10)＝C13C16C210＝25，P(X＝20)＝C23C210＝115，P(X＝50)＝C11C16C210＝215，P(X＝60)＝C11C13C210＝115.所以X的概率分布为：X010205060P132511521511517.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的概率分布．解析(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝A33C25A44＝140，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一个岗位服务为事件E，那么P(E)＝A44C25A44＝110，所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率P(E)＝1－P(E)＝910.(3)随机变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(X＝2)＝C25A33C25A44＝14.所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝34，X的概率分布是X12P341418.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布，并求李明在一年内领到驾照的概率．解析X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.∴李明实际参加考试次数X的概率分布为X1234P0.60.280.0960.024李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.9976.