高中精品-数学：求递推数列通项公式的十种策略例析

52求学网教育论坛免费学习资料3.3递推数列一、基本知识简述1．有关概念：我们在研究数列{an}时，如果任一项an与它的前一项1na（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。主要有以下几种方法：（1）构造法：通过构造特殊的数列（一般为等差数列或等列），利用特殊数列的通项求递推数列的通项.（2）迭代法：将递推式适当变形后，用下标较小的项代替某些下标较大的项，在一般项和初始之间建立某种联系，从而求出通项.（3）代换法：包括代数代换、三角代换等（4）待定系数法：先设定通项的基本形式，再根据题设条件求出待定的系数。3.思想策略：构造新数列的思想。4.常见类型：类型Ⅰ：为常数）aaanpnqanpann()0)(()()(11（一阶递归）类型II:分式线性递推数列:)0(1ABAaDCaannn二、例题：例1：231nnaa，21a，求通项na分析：构造辅助数列，)1(311nnaa，则13nna求通项过程中，多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论，从而求出了通项公式na。[一般形式]已知qpaann1，aa1，其中p,q,a为常数，求通项na[同类变式]已知数列}{na满足)12(21naann，且21a，求通项na分析：（待定系数），构造数列}{bknan使其为等比数列，即)(2)1(1bknabnkann，解得1,2bk求得12251nann[归纳]：类型Ⅰ：为常数）aaanpnqanpann()0)(()()(11（一阶递归）52求学网教育论坛免费学习资料其特例为：（1）1)(np时,)(1nqaann利用累加法，将)1(1nqaann，1na2na+)2(nq,2a1a+)1(q…,各式相加，得na1a+11)(nkkq(n2)(2)0)(nq时,nnanpa)(1;利用累乘法,111)(nknkpaa（3）qnqpnp)(,)(时,)0(1pqpaann解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列法1：(常数变易法)设)(1xapxann则)1(1pxpaann，从而1pqx亦即数列1pqan是以1pqan为首项，公比为p的等比数列，从而可得：11)1(1nnppqapqa，1)1(1pqppqaann1])1([1pqpqpan法2：)(211nnnnaapaa利用1nnaa成等比数列求出1nnaa，再利用迭代或迭另法求出na法3：由qpaann1，则可得21221221111........pqpapapqpapapqpapannnnnnnnnn,从而又可得nnnpqpqpqpapa...321即)]...11([121nnnpqpppqpapa1])1([1pqpqpan52求学网教育论坛免费学习资料（4）qnqpnp)(,)(n时,)0(1pqpaannn两边同除以np例2：数列}{na的前n项和为nS，且11a，nS＝*)(2Nnann，求数列}{na的通项公式.例3：数列}{na中，且311a，1221nnnaaa，求数列}{na的通项公式.[提示]112111nnaa[归纳]：类型II:分式线性递推数列:)0(1ABAaDCaannn练习：1.已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和。分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有S1n=4an+2，可由S2n-S1n作切入点探索解题的途径．解：(1)由S1n=4a2n，S2n=4a1n+2，两式相减，得S2n-S1n=4(a1n-an)，即a2n=4a1n-4an．(根据bn的构造，如何把该式表示成b1n与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a2n-2a1n=2(a1n-2an)，又bn=a1n-2an，所以b1n=2bn①已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3②由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·21n．当n≥2时，Sn=4a1n+2=21n(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为Sn=21n(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列52求学网教育论坛免费学习资料通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件241nnaS得出递推公式。2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．练习：2.设二次方程nax2-1.＋nax+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用na表示a1n；例9．数列na中，2,841aa且满足nnnaaa122*Nn⑴求数列na的通项公式；⑵设||||||21nnaaaS，求nS；⑶设nb=)12(1nan)(),(*21*NnbbbTNnnn，是否存在最大的整数m，使得对任意*Nn，均有nT32m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，nnnnaaaa112，}{na为等差数列，设公差为d，由题意得2382dd，nnan210)1(28.（2）若50210nn则，||||||,521nnaaaSn时52求学网教育论坛免费学习资料21281029,2nnaaannn6n时，nnaaaaaaS765214092)(2555nnSSSSSnn故nS409922nnnn65nn（3）)111(21)1(21)12(1nnnnanbnnnT)]111()111()4131()3121()211[(21nnnn.)1(2nn若32mTn对任意*Nn成立，即161mnn对任意*Nn成立，)(1*Nnnn的最小值是21，,2116mm的最大整数值是7。即存在最大整数,7m使对任意*Nn，均有.32mTn说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。1求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。例1、数列na中，11a，nnnaaa241411611。求na。（1981年第22届IMO预选题）分析本题的难点是已知递推关系式中的na241较难处理，可构建新数列nb，令nnab241，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。52求学网教育论坛免费学习资料解：构建新数列nb，使0241nnab则51b，nnab2412，即2412nnbannnbbb24141161241221化简得22132nnbb321nnbb，即32131nnbb数列3nb是以2为首项，21为公比的等比数列。nnnb2122123即322nnb121122231232241nnnnnba2证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。例2、设10a，12111nnnaaaNn，求证：22nna。（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有211na这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列n，使nntga，化简递推关系式。证明：易知0na，构建新数列n，使nntga，2,0n则2sincos111111112nnnnnntgtgtga21nntgtg，21nn52求学网教育论坛免费学习资料又10a，8121tga，从而81因此，新数列n是以8为首项，21为公比的等比数列。212821nnn考虑到当)2,0(x时，有xtgx。所以，2222nnntga注：对型如21na，na1，111nnnnaaaa都可采用三角代换。3证明是整数这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。例3、设数列na满足11a，nnnaaa1211)(Nn求证：Nan2221,nNn。（《中学数学教学参考》2001年第8期第53页，高中数学竞赛模拟试题）分析直接令222nnab，转化为证明Nbn)1,(nNn证明：构建新数列nb，令0222nnab则2422nnba，242121nnba代入221121nnnaaa整理得222124nnnbbb52求学网教育论坛免费学习资料从而2121224nnnbbb)3(n于是2212121221122424nnnnnnbbbbbb)3(n12211nnnbbb)3(n由已知，42b，243b，由上式可知，Nb4，Nb5，依次类推，Nbn)1(n，即Nan222。例4、设r为正整数，定义数列na如下：11a，2)1(221nnnaarnn)(Nn求证：Nan。（1992年中国台北数学奥林匹克试题）分析把条件变形为rnnnnaan21122比较1na与na前的系数及1na与na的足码，考虑到另一项为rn212，等式两边同乘以1n，容易想到构新数列nb，使nnannb1。证明：由已知得rnnnnaan2112212112121rnnnannann构建新数列nb，nnannb1则21b，12112rnnnbb1111nkkknbbbb1212123212rrrnNbn11121212)(2nkrrrnknknb112212212212211212122nkrrrrrrrrrknCknCknCnn52求学网教育论坛免费学习