《弦切角定理》课件

弦切角PABPAB我们曾经学习过的有关于圆的角O(A)BPOA与圆心重合PAB为圆心角点A运动到圆上OABPPAB为圆周角PA绕A旋转使PA与圆相切ABOPPAB此时是什么角？BOPABO答：是圆的弦切角顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切∠PAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？PABm的角叫做弦切角是弦切角∠PAB所夹的弧。AmB顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。BACABCABCABCABC下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？××××√ABC.O上。圆心在为直角，ACBAC.OABC圆心在角外。为锐角，BAC.OABC圆心在角内。为钝角，BAC、劣弧、优弧。所夹的弧分别是：半圆上图中BAC如上图的圆周角现在分别作出他们所对,APCABPC.OD.OABPC.OABDPCBACAPC猜想：弦切角与圆周角的关系从数学的角度看，弦切角能分成几大类？求证：∠BAC＝∠POABCPmOABCPm已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，AmC是弦切角∠BAC所夹的弧，∠P是AmC所对的圆周角。︵︵OABCPm∴∠BAC＝∠Q(1)圆心O在∠BAC的外部∵∠BAQ＝∠ACQ＝90°∴∠BAC＝90°－∠CAQ∠Q＝90°－∠CAQ作⊙O的直径AQ，连结CQQ(2)圆心O在∠BAC的边AC上∵AB是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°∴∠BAC＝∠P又∵AmC是半圆，∴∠P＝90°︵Q(3)圆心O在∠BAC的内部∴∠BAC＝∠P∠DAC＝∠Q∠P＝180°－∠Q作⊙O的直径AQ，连结CQ∵∠BAC＝180°－∠DAC弦切角等于所夹弧对的圆周角。D∠1=；∠2=；∠3=；∠4=。课堂练习：1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：OOOAAABBB30º70º25º312430º70º65º80º40º弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.2、选择：AB为⊙O直径，PC为⊙O的切线，C为切点，若∠BPC=30°，则∠BCP=（）。A、30°B、60°C、15°D、22.5°PABCOA3、如图：四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是（）。A、38°B、52°C、68°D、42°38°BOABCMND弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。∠DAB＝∠EAC推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。AB=AC如图，DE切⊙O于点A，AB、AC是⊙O的弦，若，那么∠DAB与∠EAC是否相等？为什么？BDECAO例1：如图：已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE于D。求证：(1)AC平分∠BAD(2)AC2=2AD·AOOEDCBA例题解析你还能用其他方法解答吗？试试看！有弦切角，常连结弦切角所夹弧所对的圆周角。·OABCDE213例1:如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证：AC平分∠BAD.例题解析(思路2)连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得∠1=∠2变式练习如上图，连结DE、DF，你能找出图中有哪些相等的角,哪些相似三角形?例2:如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.BAEDCFO证明：连结DF.∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC.又∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.又∵⊙O切BC于D,∴∠FDC=∠DAC.∴∠FDC=∠EFD∴EF∥BC1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C，则图中弦切角有个.4若∠AOC=1200,则∠ACD=.OBDAC6002.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的直径,若∠BCM=400,则∠ABC等于（）A.400B.500C.450D.600MCNBAO3.已知⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F为切点,若∠A:∠B:∠C=4:3:2,则∠DEF=,∠FEC=.B500700课堂练习：∠ACD,∠ACB,∠OCD,∠OCB.ABFEDC∵A=800,B=600,C=400.O∴∠DOF=1000,∴∠DEF=500.∵C=400,CE=CF.∴∠FEC=700.6.如图,AB为⊙O的直径,BC、CD为⊙O的切线,B、D切点.求证:(1)AD//OC;(2)若⊙O的半径等于1,求AD·OC的值.DCBOA证明:(1)∵BC、CD是⊙O的切线，B、D切点.∴∠OBC=∠ODC=900.又∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.而∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD,且∠BOD＝2∠BOC.∴∠BOC=∠DOC.又∵OB=OD,OC=OC.∴∠OAD＝∠BOC,∴AD//OC.∴Rt△OBC≌Rt△ODC.(2)连接BD,∵∠OAD＝∠BOC,∴Rt△OBC∽Rt△ADB.2、定理的发现1、概念的引入小结：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质。4、应用与推论3、定理的证明小结：你掌握了吗？相交弦定理、切割线定理、割线定理CP×PD=AP×PB1、如右图，由射影定理可以得出什么关系式？OAPBC2、根据垂径定理，改写上式：OAPBCD将AB、CD改为两条对一般情形的相交弦，上式还会成立吗？OAPBCDACBDPOAP×PB==CP×PD？ACBDOP同学们，你们现在可以写出证明吗？O一1、定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2、弦AB和CD交与O内一点P，那么PA·PB=PC·PDOABCDP相交弦定理二1、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。2、CD是弦，AB是直径，CDAB，垂足是P，PC2=PA·PBCDABPDACBPPDPCPBPA交点P在圆内BPDCA交点P在圆外思考？OCPADB已知：点P为⊙O外一点，割线PBA、PDC分别交⊙O于A、B和C、D（如下图）求证：PA∙PB=PC∙PD证明：连接AC、BD，∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形∴∠PDB=∠PAC，又∠P=∠P∴△PBD∽△PCA∴PD：PA=PB：PC∴PA∙PB=PC∙PD割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段的乘积相等OBPC(D)AOBDACPPA∙PC=PB∙PDOCPADBPA∙PB=PC∙PD点P从圆内移动到远外点C、D重合为一点会有什么结论？切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段的乘积等于切线长的平方OBPC(D)APC切⊙O于点C点=PA∙PB=PC2OBPCADAB交CD于点=PA∙PB=PC∙PDOBPCAOBCADPPC切⊙O于点C点=PA∙PB=PC2割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B=PA∙PB=PC∙PD思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么特征？结论都为乘积式几条线段都是从同一点出发都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）我们学过的定理中还有结论为乘积式的吗？交端×交端=交端×交端PA·PB=PD·PCPT2=PA·PBPC·PD=PA·PB相交弦定理切割线定理切割推线定论理2PAABPCCDPTPAAB1.填空题(1)如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点G，则有GC×GD=,CGADBGB×GAMAQNB(3)如图，弦AB垂直于⊙O直径MN于Q，MN：QN=5：1，AB=8，则MN=，10(2)已知：如图，弦AB与CD相交于P且PC=PD,AP=3，PB=1，CD=————OCDABP32(4)⊙O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两部分，CD被AB分为3：1两部分，则这两部分长分别是cm和cm.263（1）已知PAB、PCD是圆O的割线，PA=3，AB==5CD=2，则PC＝；（2）已知：PAB是圆O的割线，PA=6，AB=4，PO=10，则PC＝；（3）已知PT是圆O的切线，PA=4，PT=6，则圆O的面积＝。PABCDOPABPOTAC例2：已知：如图，AB是圆O的弦，P是AB上的一点，AB=8.5cm，OP=3cm，PA=6cm，求圆O的半径。OABPDC例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C．求证：PC2＝PA·PBOABCPD例3已知:如图,⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO=10.9cm，求⊙O的半径。ＤＣ·ＰＢＡＯ６８１０．９解:设⊙O的半径为r,PO和它的延长线交⊙O于C、D，由切割线定理的推论，有：PA·PB=PD·PCPA=6PB=6+8=14PC=10.9-rPD=10.9+r故(10.9-r)(10.9+r)=6×14取正数解,得r=5.9(cm)答:⊙O的半径为5.9cm另解•利用垂径定理·ＰＢＡＯ６８１０．９法三:•利用切割线定理·ＰＢＡＯ６８１０．９T练习三：如图，圆o1和圆o2都经过点A和B，点P在BA的延长线上。过点P作圆O1的割线PMN交圆O1于M.N，作圆O2的切线PC交圆O2于C。求证：PM·PN=PC2。PNBACM•o1•o2证明:PC切圆O2于CPAB是圆O2的割线PC2=PA·PBPAB是圆O1的割线PMN是圆O1的割线PA·PB=PM·PNPM·PN=PC2PBA•o1•o2练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和B，点P在BA的延长线上。过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作圆O2的切线PD切圆O2于D。求证：PC=PD。CDPBA•o1•CD练习五：如图，圆o1，圆o2，圆o3…都经过点A和B，点P是BA的延长线上一点。PC，PD，PE…分别与圆o1，圆o2，圆o3…相切于C，D，E…，求证：C，D，E…在同一个圆上。提示：PC=PD=PE…E•o3o2提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是PA的中点，DC交圆O于E。求证：1）PD2=DE•DC；2）∠1=∠C。PAEBCO•1FG分析：思考题:若延长PE交圆O于F,BF交CD于G求证:PC•BG=PD•BCDP1.PD=DA且DA2=DE•DC2.PD:DE=DC:PD∠PDE=∠CDP则:△PDE∽△CDP从而:∠1=∠C