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1高等代数(II)一、选择题(每小题3分,共15分)1、矩阵A与B等价是A与B合同的()。A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要2、设Mn(R)是R上全体n阶矩阵的集合,定义)(,det)(RMAAAn,则是Mn(R)到R的()。A.一一映射B.满射C.一一对应D.既不是满射又不是一一对应3、F3的两个子空间V1={(x1,x2,x3)|2x1-x2+x3=0},V2={(x1,x2,x3)|x1+x3=0},则子空间V1V2的维数()。A.一维B.二维C.三维D.零维4、n阶矩阵A相似于B,则()。A.A与B有相同的特征向量B.A与B有不同的特征向量C.A与B有相同的特征值D.A与B有不同的特征值5、整数加群Z,+中元素2的逆远是()。A.21B.2C.1D.-2二、填空题(每小题3分,共15分)1、,是欧氏空间V上的两个正交变换,则是。2、二次型f(x1,x2,x3)=x12-2x2+x22的矩阵是。3、A是Hermite矩阵,A2=E,则A是矩阵。4、若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,则秩(I)秩(II)。5、线性方程组AX=B的解存在的充要条件是。三、计算题(每小题8分,共40分)1、已知线性方程组51117840246313542232143214321xxxxxxxxxxxx的一个特解)0,73,0,74(,求该方程组的全部解。2、已知三维F3空间的两组基)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321)1,1,0()1,0,1()1,1,1(321求由基},,{321到},,{321的过渡矩阵,且求向量=(1,0,-1)在基},,{321下的坐标。3、是n阶可逆矩阵A的一个特征值,求A-1,A*的一个特征值。4、设矩阵A=(aij)n×s的秩为1,an≠0,试求两个列向量,,使A5、用正交换换化二次型222121262xxxxf为标准形,且写出这个变换。班级:姓名:学号:2四、证明题(每小题10分,共30分)1、设向量可由向量组s,,,21线性表示,但不能由121,,,s线性表示。证明:(1)s不能由121,,,s线性表示;(2)s能由121,,,s,线性表示。2、是F上向量空间V的线性变换,若有V的变换,使l则称是的逆变换,记为-1。证明:-1也是线性变换。3、,是欧氏空间的两个线性变换,且对任意V,有)(),()(),(证明的像空间和的像空间同构。答案一、选择题(本题15分,每小题3分)31、B;2、B;3、A;4、C;5、D。二、填空题(本题15分,每小题3分)1、正交变换;2、000011011;3、酉矩阵。4、秩(I)≤秩(II);5、系数矩阵与增广矩阵的秩相等。三、计算题(每小题8分,共40分)1、解:1000713100232521111784246335420021000010000214321xxxx∴该齐次成性方程组的基础解系为:(2,1,0,0)原方程组的全部解为)0,0,1,2(0,73,0,74k2、令)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321,则有A),,(),,(321321,其中012110301AB),,(),,(321321,其中111101011B从而BA1321321),,(),,(其中43333452271,1121623317111BAA设在基},,{321下的坐标为),,(321xxx,则有:7171741011321Axxx3、设是A的一个特征值,是A的属于的特征向量,则有A,两边左乘A-1得1A,从而111,1AA是故的特征向量,又1||AAA故||,||||*1AAAAA即,从而*||AA是的一个特征值。4、A=(aij)的秩为1,且a11≠0,则存在可逆矩阵P、Q,使)0,0,1(00000000001111aaPAQ])0,,0,1][(00[1111QapA令00111ap,0101)(1Q,则,即为所求。5、解f的矩阵为2332A4542332)(2xxxxxfA,故A的特征值为x1=5,x2=-1属于x1=5的特征向量为:(-1,1)单位化后为)21,21(属于x2=f的特征向量为:(1,1)单位化后为)21,21(取212121212121yyxx则f可化为22215yy四、证明题(本题30分,每小题10分)1、证明(1)ssxxx2211①,若s能由121,,,s线性表示,则有112211ssskkk,将此式代入①式得111222111)()()(sssssskxxxkxxkx,这与s不能由121,,,s线性表示矛盾。(2)由题设,,,,01212211sssssxxxx能由故且线性表示:2、,,,,vFba则有:))()(())(())((1111bababa两边用1作用,得)()()(111baba3、)())(mI,令)()(:f,容易证明f是Im()到Im()的双射且)()(),(,,mIRba)()()()()()())()((bfafbababafbaf)(),()(),())(()),((ff故f是)()(mmII到的同构映射,)()(mmII与同构。
本文标题:高代数试题及答案(II)(12)
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