高数2第9讲

第7章常微分方程7.1.1微分方程的基本概念7.1.2分离变量法7.1常微分方程的基本概念与分离变量法7.1.1微分方程的基本概念概念：微分方程:含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程.常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.说明：微分方程有时也简称为方程.如方程d2dyxx是常微分方程,方程0xxyyzz,0xyyzxz都是偏微分方程（本章只讨论常微分方程）.微分方程的阶：微分方程中,所含未知函数的导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶.线性微分方程：当微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的,且不含这些变量的交叉项,该方程称为线性微分方程.常系数线性微分方程：在线性微分方程中,如果未知函数及其各阶导数都是常数,则该方程称为常系数线性微分方程.否则称为变系数线性微分方程.定义7.1如果一个函数代入微分方程后,方程两端恒等,则该函数称为微分方程的解.如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数（任意常数不能合并）的个数与方程的阶数相同,则称此解为该微分方程的通解.不含任意常数的解,称为微分方程的特解.初始条件:确定任意常数取固定值的条件称为初始条件.如：3yxC是方程23yx的通解，而32yx,31yx都是方程33yx的特解.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题,称为初值问题.解因为312eexxyCC312e3exxyCC312e9exxyCC将y,y,y代入方程''2'30yyy左端,得333121212e+9e+2(e3e)3(e+Ce)xxxxxxCCCCC3111222=(C+2C3C)e+(9C6C3C)e=0xx所以函数312eexxyCC是所给微分方程的解.又因为解中有两个独立（不能合并）的任意常数,所以该解是所给的二阶微分方程的通解.例1验证函数312eexxyCC(1C,2C为任意常数)为二阶微分方程230yyy的通解,并求方程满足初始条件(0)=3y,(0)=1y的特解.由初始条件(0)=3(0)=1yy得1212+=33=1CCCC解得1221CC所以满足初始条件的特解为3=2e+exxy.7.1.2分离变量法定义7.2形如ddyfxgyx(7-1-1)的方程,称为可分离变量的方程.其中fx只是x的函数,gy只是y的函数.求解步骤：（1）分离变量d()d()yfxxgy；（2）两边积分d()d()yfxxgy；（3）求出积分得通解GyFxC.其中Gy,Fx分别是gy,fx的原函数.解分离变量得ddyyxx两边积分d=dyyxx即2211222Cyx于是,所求通解为22xyC（其中C为任意常数）.例1求微分方程xyy的通解.解分离变量得d2dyxxy，两边积分d=2dyxxy，即21lnyxC，于是2exyC（其中,1ecC）.易验证0y也是方程的解(分离变量时两边同除以y所丢失的解),故C可取零值,所以,原方程的通解为2exyC(C为任意常数).例2求微分方程2yxy的通解.7.2一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程7.2.1一阶线性微分方程7.2.2可降阶的高阶微分方程7.2.3内容小结7.2.1一阶性微分方程一阶线性非齐次微分方程：一阶线性微分方程的标准形式为d+()()dyPxyQxx(7-2-1)其中()Px,()Qx均为已知的连续函数.当()0Qx时,方程d+()0dyPxyx(7-2-2)称为一阶线性齐次微分方程.当()0Qx时,方程(7-2-1)称为一阶线性非齐次微分方程.方程求解步骤为（常数变易法）：(1)先求对应于(7-2-1)的齐次方程(7-2-2)的通解()dePxxyC；(2)以Cx代替C得到()dePxxyCx并求y；(3)将(2)中y及y代入(7-2-1)解出()d()edPxxCxQxxC；(4)将(3)中的Cx代入(2)中y的表达式,即得(7-2-1)的通解()d()dy=e[()ed]PxxPxxQxxC.(7-2-3)解(1)对方程201yyx分离变量得d2d1yxyx积分得2(1)yCx，(2)令2()(1)yCxx则2'()(1)2()(1)yCxxCxx，(3)将(2)中y,y代入原方程得()1Cxx积分得21()(+1)d(1)2CxxxxC，(4)将上式代入(2)中的y,即得原方程的通解221(1)[(1)]2yxxC421(1)(1)2xCx.解一阶线性非齐次微分方程也可直接利用公式(7-2-3).例1求一阶线性微分方程的通解.3)1(12xyxy7.2.2可降阶的高阶微分方程1．()()nyfx型的微分方程对上述方程只需连续积分n次即得通解解对所给的方程连续积分三次,得22211(e+)de22xxxyxxC，232211211'(e++)de2246xxxxyCxCxC，342221122311(e+++)de+468242xxCxxyCxCxxCxC.故原方程的通解为4221231e+8242xCxyxCxC其中12CC.例1求微分方程2exyx的通解.2.(,')yfxy型的微分方程方程特点：右端不显含未知函数y,可令yp,则'yp,原方程可降为p为未知函数的一阶微分方程，若可以从此一阶方程中求出其通解，即1(,)yxC，两边再积分,便得原方程的通解.),(pxfp),(1cxp解方程不显含未知函数y,属于(,')yfxy型,故令,则原方程化为即d2d+1PxPx，两边积分得21lnln(1)lnPxC，所以21(1)PCx，即3121'(1)3yCxC为所求的通解.Py012PxP例2求微分方程201yyx的通解.3．(,')yfyy型的微分方程方程特点:右端不显含自变量x,作变量代换将其降阶.令()ypy,则从而将所给方程化为一阶微分方程若能求出其解1(,)pyc,再由1(,)yyc求出原方程的解.dydppdxdydydpdxdpy),(pyfdydpp解该方程不显含自变量x,属于(,')yfyy型故令()ypy,则ddPypy，原方程为2d0dPyppy，即d()0dPpypy，若0p,则ddPypy=0，分离变量得ddPyPy，例3求微分方程的通解.02yyy积分得1lnlnlnPyC，即1pCy，也即1yCy，分离变量得1ddyCxy，再积分得12lnyCxC，于是1y=eCxC(2eCC).(1)当0p时,0y,积分得yC此解已经含在(1)中,(只需10C),故原方程的通解为1eCxyC.7.3二阶常系数线性微分方程7.3.1二阶常系数线性微分方程解的性质7.3.2二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法7.3.3内容小结7.3.1二阶常系数线性微分方程解的性质定义7.3形如0ypyqy(7-3-1)(其中p,q均为常数)的方程,称为二阶常系数齐次线性微分方程．定理7.1(齐次线性方程解的叠加原理)如果函数1y,2y是方程(7-3-1)的两个解,则1122yCyCy也是方程(7-3-1)的解,其中1C,2C均为任意常数．证明因为1y,2y是方程(7-3-1)的解,所以1110ypyqy，2220ypyqy，将1122yCyCy代入方程(7-3-1)左端得112211221122()()()CyCypCyCyqCyCy11112222()()0CypyqyCypyqy，即1122yCyCy是方程(7-3-1)的解．定义7.4设1()yyx与2()yyx是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k,使得12()()yxkyx成立,则称1()yx与2()yx在该区间内线性相关；否则,称1()yx与2()yx在该区间内线性无关.解将1y,2y分别代入方程左端得2222(e)3(e)2e(462)e0xxxx，(e)3(e)2e(132)e0xxxx，所以12,yy都是该方程的解.又因为212eeexxxyy常数,所以1y与2y线性无关.于是由定理9.2,所给方程的通解为212y=e+exxCC（1C,2C为任意常数）定理7.2(齐次线性方程的通解结构)如果函数12(),()yxyx是方程(7-3-1)的两个线性无关解,则函数1122yCyCy(1C,2C为任意常数)是方程(7-3-1)的通解.例1验证21y=ex,2y=ex是微分方程320yyy的解，并写出该方程的通解.定义7.5形如()ypyqyfx(7-3-2)（其中p,q均为常数,()0fx）的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程，并称方程(7-3-1)为方程(7-3-2)对应的齐次方程.定理7.3(非齐次线性方程的通解结构)如果*y是方程(7-3-2)的一个特解，1122YCyCy是方程(7-3-1)的通解,则1122**yYyCyCyy是方程(7-3-2)的通解.7.3.2二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法求二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy的通解步骤如下：第一步写出微分方程的特征方程：第二步求出特征根1r和2r；第三步根据1r和2r的三种不同情况,按下表写出方程的通解：特征方程的根通解形式两个不等实根12rr1212eerxrxyCC两个相等实根12()erxyCCx一对共轭复根ri12e(cossin)xyCxCx02qprrrrr21解方程60yyy的特征方程为260rr，特征根为12r,故所求方程的通解为2312eexxyCC.32r例1求方程60yyy的通解.例2求方程440yyy的通解.解方程440yyy的特征方程为2440rr，其特征根122rr，所以原微分方程的通解为212()exyCCx.