高等代数与解析几何教学大纲

《高等代数与解析几何》教学大纲说明高等代数与解析几何是数学的主要基础课.通过本课程的教学将逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力.因此在教学中应注意讲清代数概念的几何背景,培养学生的空间想象力.本课程如按每学期每周4节正课2节习题课安排,在一学年内应能讲授完本大纲的内容。至于教科书《高等代数与解析几何》中的打星号的选学内容可以作为第三学期的选修课内容。第一章第一章向量代数(22课时)第二章第二章行列式(12课时)第三章第三章线性方程组与线性子空间(20课时)第四章第四章矩阵的秩与矩阵的运算(14课时)第五章第五章线性空间与欧几里得空间(16课时)第六章第六章几何空间的常见曲面(14课时)第七章第七章线性变换(6课时)第八章第八章线性空间上的函数(10课时)第九章第九章坐标变换与点变换(12课时)第十章第十章一元多项式与整数的因式分解(14课时)第十一章第十一章多元多项式(12课时)第十二章第十二章多项式矩阵与若尔当典范形(10课时)以下计划中所列参考课时数均不包括习题课课时.第一章向量代数(22课时)内容包括向量的线性运算，向量的共线与共面，用坐标表示向量，线性相关性与线性方程组，n维向量空间，几何空间向量的内积、外积与混合积，平面曲线的方程等。本章的教学目的是使学生对向量及其运算以及线性相关性有一个较直观的认识，为以后抽象向量的学习打下基础。第二章行列式(12课时)本章从讲解映射与变换以及置换的奇偶性入手，通过体积的计算引入行列式的定义，同时也给出行列式的常用定义，然后引入矩阵的概念，以帮助理解行列式的性质，再讲解行列式按一行(一列)展开以及用行列式解线性方程组的克拉默法则，最后证明拉普拉斯定理。本章的教学目的是使学生对行列式的意义及其计算有所了解。并会应用克拉默法则解线性方程组。对行列式计算的技巧不能太强调。第三章线性方程组与线性子空间(20课时)用消元法解线性方程组是与初等数学相衔接的，在此基础上讨论线性方程组的解的情况，然后引出向量组的线性相关性的有关性质，再学习线性子空间及线性子空间的基与维数，以帮助理解齐次线性方程组的解的结构。通过对非齐次线性方程组的解的结构的讨论理解线性流形。作为其应用，再讨论几何空间中平面与直线的仿射性质。通过本章的教学使学生了解线性方程组的解的情况、向量组的线性相关性以及线性子空间的维数间的联系，并掌握解析几何中关于平面和直线方程的内容。第四章矩阵的秩与矩阵的运算(14课时)内容有向量组的秩，矩阵的秩，用矩阵的秩判断线性方程组解的情况，线性映射及其矩阵，线性映射及矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵。通过本章的学习使学生知道线性方程组的解的秩判别法，掌握矩阵的运算以及矩阵的正规形。第五章线性空间与欧几里得空间(16课时)内容有线性空间及其同构，线性子空间的和与直和，欧几里得空间，几何空间中平面与直线的度量性质，欧几里得空间中的正交补空间与正交投影，正交变换与正交矩阵。对抽象线性空间定义的学习能提升学生的抽象思维能力。度量的引入导出了欧几里得空间。正交变换和正交投影是本章的重要内容，也是难点。而有关直线和平面的部分则是传统的解析几何内容，必须掌握。第六章几何空间的常见曲面(14课时)内容包括立体图与投影，空间曲面与曲线的方程，旋转曲面，柱面与柱面坐标，锥面，二次曲面，直纹面，曲面的交线与曲面围成的区域。本章是空间解析几何的传统内容。重点应放在培养学生的空间想象力上。第七章线性变换(6课时)内容有线性空间的基变换与坐标变换，基变换对线性变换矩阵的影响，线性变换的特征值与特征向量，可对角化线性变换，线性变换的不变子空间。本章应使学生掌握线性变换矩阵的相似变换公式，理解特征值与特征向量的意义及求法，并会通过求特征值与特征向量把可对角化矩阵化成对角形。第八章线性空间上的函数(10课时)内容有线性函数与双线性函数，对称双线性函数，二次型，对称变换及其典范形。本章的重点是学会把二次型通过线性替换化成对角形。第九章坐标变换与点变换(12课时)内容有平面坐标变换，二次曲线方程的化简。本章的教学要求是使得学生学会通过代数方法把一般平面二次曲线方程通过坐标变换化成标准形。第十章一元多项式与整数的因式分解(14课时)内容有一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式的根，复系数与实系数多项式，有理系数多项式。本章通过与整数的比较使得学生对初等数学中已经学过的多项式因式分解理论有更深刻的理解。对多项式的因式分解理论作系统的总结与提高。第十一章多元多项式(12课时)内容有多元多项式，对称多项式。由于课时的限制，多元多项式只能学习这点内容。第十二章多项式矩阵与若尔当典范形(10课时)内容有多项式矩阵，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若尔当典范形，矩阵的极小多项式。本章通过多项式矩阵方法导出相似矩阵的若尔当标准形。同时应使学生知道矩阵的不变因子与初等因子以及它们与矩阵的相似的关系。