高等代数专题研究阶段辅导(文本)

（2009.05.26）高等代数专题研究阶段辅导（文本）张进军：同学们好，本学期阶段辅导开始了，欢迎大家参加讨论，并且提出建议和问题。怎样学好高等代数专题研究这门课？同学们经常问如何学好这门课，其实这是每个同学都关心的问题。我想告诉大家的是在学习的路途上，没有捷径可走，要对基本概念熟读，理解。对方法要勤于练习。所以我要说：大家仔细阅读教材，做好练习就是最好的办法。关于伽罗华理论-1这些天我看到帖子上有同学总问:伽罗华理论是什么，如何学习？下面让我先对这个问题进行回答，我们先来认识一下伽罗华吧：伽罗华（ÉvaristeGalois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（SolutionbyRadicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他已经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还与巴黎综合理工大学（ÉcolePolytechnique）的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院的论文均被泊松（Poisson）所拒绝。伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。关于伽罗华理论-2看了下面这篇文章您就会对伽罗华理论有一个大致的了解：数学世界的顽强斗士------伽罗华19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576年)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560年)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。伽罗华通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题。”然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作，这是一个非常微妙的“事故”。1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚持他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索。关于伽罗华理论-3你能总结出----何谓伽罗华理论吗？伽罗华的最主要成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。作为推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解以及用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。伽罗华理论对近代数学的发展产生了深远影响，它已渗透到数学的很多分支中。此外，伽罗华还研究过所谓“伽罗华虚数”，即有限域的元素，因此又称有限域为伽罗华域。本教材的主要内容本教材分为五章：1.代数运算与自然熟；2.不等式；3.多项式与环；4.排列与组合。这四章是期末考试内容。另外还有5.伽罗华理论，不考试，作为了解即可以了。关于数学中“环”概念的理解有的同学经常问道，究竟什么是环？其实环是一个具有两种二元运算的代数系统（一个集合加上运算）。在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。整数集Z就构成一个（数）环。在20世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫“环”。环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来：1.若a和b都是环中的元素，那么a+b也是环中的元素；2.加法符合结合律：若a、b和c都属于这个环，那么a+(b+c)=(a+b)+c；3.在环中存在一个类似于0的元素－－甚至也可以称它为0－－具有性质：对于环中的任一元素a，有0+a=a；4.对于环中的每个元素a和b，a+b=b+a都成立。在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质：1.若a和b属于环，那么它们的乘积ab也属于环；2.若a、b和c属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。环的乘法通常不满足交换律（ab=ba一般不成立），而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。……各种n×n矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。在20世纪的前30多年中，由于德国数学家诺特(EmmyNoether，1882-1935年）的工作，环的结构的研究变得非常重要。环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素，但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释，所以有时把一个特殊的环表示成一个n×n矩阵的集合。这类矩阵表示，不仅能使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法，已经成为了当代数学、物理学，以及理论化学的一个重要组成部分。关于可约的概念还有的同学经常提到可约这个概念：下面一段文字是说在数学上可约的意义的，可约的概念渗透到数学的各个分支，它在不同的分支中有不同的表现形式。与可约概念相对的就是不可约。在数论中，一个整数被称为可约的，如果它可以被1和其本身以外的正整数整除。这样的数叫做合数。不是合数的数叫做素数或质数。在环论中，一个元素称为可约的，如果它落在某个主理想中，并且它不能生成这个理想。不可约元不一定是素元。特别在给定域上的多项式环中，一个多项式称为可约的，如果它可以分解成一些次数更小的多项式之积。不满足此条件的多项式叫做不可约多项式。上面都是和我们使用的教材有关的概念，希望大家好好体会哟关于圆排列同学们在学习时经常感到圆排列不好掌握：从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数为（n-1）！。（此时排列的总数为n！）关于重复排列在排列一章中，还有一个概念是经常使用的，即重复排列从n个不同元素中取出m的元素（同一个元素允许重复取出），按照一定的顺序排成一列，叫做n个不同元素的一个m-可重排列。由分步记数原理易知，n个不同元素的m-可重排列数为mn。关于重复组合在本章中，还有一个概念容易和重复排列混淆---即重复组合：其实重复排列和就是指从n个不同元素中取出m的元素（同一个元素允许重复取出），并成一组，叫做n个不同元素的一个m-可重组合。n个不同元素的m-可重组合数为mmnC1。同学们在学习时要注意区分哟。关于抽屉原理今天辅导的最后一个问题，给大家讲讲抽屉原理。关于抽屉原理-1抽屉原理的形式：原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。原理12都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。张进军：给黄同学问题的解答――最近有一位同学，提出了几个问题，教材上有的我已经给出了教材上的位置。下面将两个问题解答如下：张凯艳：第二数学归纳法是什么？张进军：见教材33页定理1.21张凯艳：填空――有限集合与真子集合，无限集合与其真子集合-。张进军：正确的结果应该是有限集合与真子集合不能等价，无限集合与其真子集合是等价的。张凯艳：怎样可以最快的掌握高等代数的要领？张进军：静心体会，深入学习，勤加训练，必有所成。张凯艳：填空――方程X的三次方减12X加16的根是多少张进军：一个二重根是2，一个是-4张凯艳：知道了，谢谢。张凯艳：证明――设R是因式分解惟一环，若a/bc且(a,b)~1,求证a/c.张进军：参见教材169页定理3.3的证明方法。张凯艳：简述题――叙述因式分解惟一环的定义。张进军：见教材167页定义3.8张凯艳：简述题――叙述代数学基本定理。张进军：见教材187页定理3.15张凯艳：填空――5个数码的扰乱排列总数是多少张进军：按教材293页的公式计算即可得出张凯艳：填空――推出婓波那契数列的递推公式是什么张进军：21nnnaaa。张凯艳：填空――柯西不等式为什么张进军：见教材90页张进军：同学们再见。今天的辅导就到这里，希望多提问题在这里讨论哟。下次再见！