高等数学3泰勒公式南京航空航天大学

3．1微分中值定理3．2函数单调性与曲线的凹凸性3．3函数的极值与最值3．4函数图形的描绘3．5洛必达法则3．6泰勒（Taylor)公式3.6泰勒(Taylor)公式一、问题的提出二、泰勒中值定理三、简单应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算特点:)(0xf)(0xf一、问题的提出)(xfxy)(xfyo))(()(000xxxfxf以直代曲0x)(1xp在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?xx的一次多项式下面来解决这两个问题：2001)()(21)(xxxfxR由洛必达法则及极限与无穷小的关系，知)])(()([)()(:0001xxxfxfxfxR记误差1）200000))((21))(()()(xxxfxxxfxfxf00000112200''()()()()limlim,()()2xxxxfxRxfxPxxxxx00120''()()lim0()2xxfxRxxx200000))((21))(()()(xxxfxxxfxfxf300)()(!31xxxf2000002))((21))(()()()(xxxfxxxfxfxfxR误差300200000))((!31))((21))(()()(xxxfxxxfxxxfxfxf由此分析看出，随着多项式函数的阶数的提高，这一特殊类型的多项式与函数f(x)的近似程度越来越好.问题:并估计误差)()()(xpxfxRnn..)()()()(0202010nnnxxaxxaxxaaxp2）设函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,并设f(x)的近似多项式为：寻找函数)(xpn,使得)()(xpxfn,0x)(xfyoxy分析:)()(00xfxpn)()(00xfxpn)()(00xfxpn2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交0xPn(x)的确定假设nkxfxpkkn,,2,1,0)()(0)(0)(),(00xfa代入)(xpn中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(!2)())(()()(00)(200000得),,2,1,0()(!10)(nkxfkakk),(101xfa)(!202xfa,)(!0)(xfannn二、泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理如果函数)(xf在含有0x的某个开区间),(ba内具有直到)1(n阶的导数,则当x在),(ba内时,)(xf可以表示为)(0xx的一个n次多项式与一个余项)(xRn之和:)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0x与x之间).证明:由假设,)(xRn在),(ba内具有直到)1(n阶导数,且两函数)(xRn及10)(nxx在以0x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,故有)())(1()(0011之间与在xxxnRnn0)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000xRxRxRxRnnnnn如此下去,经过)1(n次后,得两函数)(xRn及nxxn))(1(0在以0x及1为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得0))(1()()())(1()(0101011nnnnnxnxRRxnR!1)()()()1(10nRxxxRnnnn(之间与在nx0,也在x0与x之间))())(1()(1021022之间与在xxnnRnnnkkknxxkxfxp000)()(!)()(称为)(xf按)(0xx的幂展开的n次近似多项式nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称为)(xf按)(0xx的幂展开的n阶泰勒公式)()(!1)()(010)1(之间与在xxxxnfxRnnn,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn则由上面推导可知拉格朗日型的余项)()(!1)()(010)1(之间与在xxxxnfxRnnn佩亚诺(Peano)型的余项0)()(lim00nnxxxxxR及].)[()(0nnxxoxR记1010)1(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR时的某邻域内当在Mxfxn)()1(0-------带拉格朗日型余项的Taylor展式])[()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf-------带佩亚诺型余项的Taylor展式10)1(000)()()!1()()(!)()(nnknkkxxnfxxkxfxf注意:1.当0n时,泰勒公式变成L-中值公式)())(()()(000之间与在xxxxfxfxf20000)(!2)())(()()(,1.2xxfxxxfxfxfn泰勒公式变成时当0)(xx在与之间可见误差fd0)(xx在与之间)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林(Maclaurin)公式泰勒公式变成时当,0.30x例1按(x+1)的幂展开.423)(23xxxxf解函数的泰勒展开：,10x,8)1()(0fxf5)1(f,6)1(f,0)1(f.4,0)1()(nfn.)1()1(58423)(323xxxxxxf1|1|)(,0)(111xxxxxfxf)!1()1(|)!1()1(|)(,,11|)(1111)(121nxnxfxxfnxnnxnxxnnxnxxxxx)1(1)1()1(41)1(31)1(21)1(ln143211)1(11)1(nnnxn位于x与1之间。例2.1ln)(0阶泰勒公式处展开成在将nxxxf解例3解求xexf)(的n阶麦克劳林公式.,)()()()(xnexfxfxf1)0()0()0()0()(nffffxnexf)()1(注意到代入公式,得).10()!1(!!2112nxnxxnenxxxe常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin212153nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos122642nnnxonxxxxx)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx!7!5!3753xxxxy!5!353xxxy!33xxyxysinxy)!12()1(!5!3sin1253nxxxxxnn例4计算403cos2lim2xxexx.解)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(127lim4440xxoxx原式例5解)(!3!21332xoxxxex)(!3sin33xoxxx301sin()limxxexxxx3333023()!!limxxxoxx130sin()limxexxxxx233331123330()()()!!!limxxxxoxxoxxxxx13EX)]11ln([lim2xxxx.)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx展开至x-2次项3.证明不等式.)(,0)(,00,)(.7xxfxxxfxxf时证明：当是等价无穷小，与时当设例证思考题.),[0)(:),(0)(,0)(,0)(,),[)(:内有且仅有一个根在求证且内二次可导在设利用泰勒公式证明axfaxxfafAafaxf