高等数学上册知识点总结

高等数学上册知识点总结第五章定积分一、用定积分的几何意义和性质计算定积分1.计算下列定积分（1）42(3)d;2xx（2）21||d;xx（3）3239d;xx2.设1331113()d18,()d4,()d3.fxxfxxgxx求（1）11()d;fxx（2）31()d;fxx（3）13()d;gxx（4）311[4()3()]d.5fxgxx第二节微积分基本公式二、积分上限的函数的导数3.计算下列各导数（1）220d1d;dxttx（2）324dd;d1xxtxt（3）cos2sindcos()d;dxxttx（4）0()sind;xyxttt（5）10()d;yftxt4.设f(x)在[0,+∞)内连续且f(x)0.证明：函数00()d()()dxxtfttFxftt在（0，+∞）内为单调增加的函数。三、和积分上限的函数有关的极限问题5.求（1）21cos20dlim.txxetx（2）2220020(d)lim.dxtxxtettet四、牛顿—莱布尼茨公式6.计算（1）321d;1xx（2）121d;xx（3）20()d,fxx其中21,1;()1,1.2xxfxxx第三节定积分的换元积分法和分部积分法五、换元积分法一）根式代换法（换元必换限，换限必对限）（当被函数含有根式，且根式下的式子为关于x的一次函数或一次函数的分式时）7.计算（1）402d;21xxx（2）11d;54xxx（3）411d;1xx（4）1341d;11xx（5）12112ed.xx二）线性代换法8.计算（1）3sin()d;3xx（2）132d;(115)xx9.设函数21,0,1cos(),0.xxxfxxex计算41(2)d.fxx三）和三角函数有关的定积分10.计算（1）520cossind;xxx（2）350sinsind;xxx（3）22coscos2d.xxx（4）301sind;xx（5）226cosd;xx四）三角代换11.计算（1）220d;aaxx（2）3221d;1xxx六、分部积分法（反对幂三指）12.计算120arcsind.xx13.计算10d.xex结论：定积分公式22001331........,;2422sindcosd1342.......,1.253nnnnnnnnIxxxxnnnnn为正偶数为大于的正奇数14.计算41lnd.xxx第四节反常积分七、无穷限的反常积分15.计算反常积分2d.1xx16.计算反常积分0d.pttet17.证明：反常积分d.paxx（a0）当p1时收敛；当p≤1时发散.(记住结论)八、无界函数的反常积分18.计算反常积分220d(0).axaax19.讨论反常积分121dxx的敛散性.20.求反常积分30d.(1)xxx第六章定积分的应用第二节定积分在几何学上的应用九、平面图形的面积一）利用直角坐标计算平面图形的面积21.计算由两条抛物线：y2=x,,y=x2所围成的平面图形的面积.22.计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的平面图形的面积.二）由曲线的参数方程计算平面图形的面积23.求椭圆22221xyab所围成的平面图形的面积.十、利用极坐标计算平面图形的面积24.计算阿基米德螺线(0)aa上相应于从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积.25.计算心形线ρ=a(1+cosθ)（a0）所围成的图形的面积.十一、旋转体的体积26.连接坐标原点O及点P（h,r）的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转一周构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这个圆锥体的体积.27.计算由椭圆22221xyab所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.28.计算由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)相应于0≤t≤2π的一拱与直线y=0所围成的图形，分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.十二、平行截面面积为已知的立体的体积29.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成α角.计算这平面截圆柱体所得立体的体积。30.求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.十三、平面曲线的弧长一）曲线由参数方程给出31.计算摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)相应于0≤t≤2π的一拱的长度。二）曲线由一般式方程给出32.计算曲线232()3yxaxb的弧长.33.求曲线0sind(0)xnynxxxn的弧长.三）曲线由极坐标方程给出34.求对心形线(cos)a的全长。第七章微分方程十四、可分离变量的微分方程35.求微分方程d2dyxyx的通解.十五、齐次方程36.解方程22ddddyyyxxyxx。十六、一阶线性微分方程（1.常数变易法；2.公式法）37.求方程52d2(1)d1yyxxx的通解.十七、可降阶的高阶微分方程一）()()nyfx型的微分方程38.求微分方程2'''ecosxyx的通解.二）''(,')yfxy型的微分方程39.求微分方程2(1)''2'xyxy满足初值条件00|1,'|3xxyy的特解.三）''(,')yfyy型的微分方程40.求微分方程2'''0yyy的通解.第七节常系数齐次线性微分方程十八、常系数齐次线性微分方程41求下列微分方程的通解.22dd(1)'''20;(2)''4'50;(3)420250.ddxxyyyyyyxtt42.求微分方程(4)2'''5''0yyy的通解.第八节常系数非齐次线性微分方程十九、()()xmfxePx型43.求微分方程''2'331yyyx的一个特解.44.求微分方程2''5'6xyyyxe的通解.二十、()[()cos()sin]xlnfxePxxQxx型45.求微分方程''cos2yyxx的一个特解.46.求微分方程'cos2xyyex的一个特解.