高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8讲

1第二章第八讲A组基础巩固一、选择题1．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是()A．f(x)＝ex－1B．f(x)＝x＋1xC．f(x)＝2x－xD．f(x)＝2x－x2[答案]C[解析]由于函数f(x)＝ex－1，f(－x)＝e－x－1≠－f(x)，故函数不是奇函数，排除A；由于函数f(x)＝x＋1x满足f(－x)＝－x＋1－x＝－(x＋1x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋1x是奇函数，但方程f(x)＝0无解，故不存在零点，排除B；由于函数f(x)＝2x－x满足f(－x)＝2－x－(－x)＝－(2x－x)＝－f(x)，故f(x)＝2x－x是奇函数，又f(1)·f(2)＝1×(－1)＜0，故在区间(1,2)上存在零点，C满足条件；由于函数f(x)＝2x－x2，f(－x)＝2－x－(－x)2≠－(2x－x2)＝－f(x)，所以f(x)不是奇函数，排除D，故选C．2．函数f(x)＝x3－(12)x－2的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案]B[解析]∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，∴f(1)·f(2)＜0.又函数f(x)在定义域上单调递增，∴由零点存在性定理得f(x)的零点所在区间为(1,2)．3．已知函数f(x)＝ex＋a，x≤0，2x－1，x0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(－1,0)D．[－1,0)[答案]D[解析]当x0时，f(x)＝2x－1.令f(x)＝0，解得x＝12；当x≤0时，f(x)＝ex＋a，此时函数f(x)＝ex＋a在(－∞，0]上有且仅有一个零点，等价转化为方程x＝－a在(－∞，0]上有且2仅有一个实数根，而函数y＝ex在(－∞，0]上的值域为(0,1]，所以0－a≤1，解得－1≤a0.故选D．4．已知函数f(x)＝2x－2－1，x≥0x＋2，x＜0，g(x)＝x2－2x，x≥01x，x＜0，则函数f(g(x))的所有零点之和是()A．－12＋3B．12＋3C．－1＋32D．1＋32[答案]B[解析]由f(x)＝0得x＝2或x＝－2，由g(x)＝2得x＝1＋3，由g(x)＝－2得x＝－12，所以函数f(g(x))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋3，故选B．5．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝ln(x－12)2D．f(x)＝4x－1[答案]D[解析]选项A，x1＝1；选项B，x1＝0；选项C，x1＝32或－12；选项D，x1＝14，∵g(1)＝4＋2－2＞0，g(0)＝1－2＜0，g(12)＝2＋1－2＞0，g(14)＝2＋12－2＜0，则x2∈(14，12)，故选D．6．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝1fx＋，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]上方程f(x)－mx－m＝0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是()A．[0，12)B．[12，＋∞)C．[0，13)D．(0，12][答案]D[解析]解法一方程f(x)－mx－m＝0有两个不同的实根等价于方程f(x)＝m(x＋1)有两个不同的实根，等价于直线y＝m(x＋1)与函数f(x)的图象有两个不同的交点．因为当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，所以f(x)＋1＝1fx＋＝1x＋1，所以f(x)＝1x＋1－1，所以f(x)＝3x，x∈[0，1]1x＋1－1，x∈－1，.在同一平面直角坐标系内作出直线y＝m(x＋1)与函数f(x)，x∈(－1,1]的图象，由图象可知，当直线y＝m(x＋1)与函数f(x)的图象在区间(－1,1]上有两个不同的公共点时，实数m的取值范围为(0，12]．解法二当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，f(x)＋1＝1fx＋＝1x＋1，所以f(x)＝1x＋1－1，所以f(x)＝x，x∈[0，1]1x＋1－1，x∈－1，.取m＝12，方程f(x)－12x－12＝0在区间(－1,1]上有两个不同的实根x1＝3－2，x2＝1，排除A、C；取m＝1，方程f(x)－x－1＝0在区间(－1,1]上有且仅有一个实根5－32，排除B，故选D．二、填空题7．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.[答案](0,0.5)f(0.25)[解析]因为f(0)＜0，f(0.5)＞0，由二分法原理得一个零点x0∈(0,0.5)；第二次应计算f(0＋0.52)＝f(0.25)．8．若f(x)＝x2－x－1，x≥2或x≤－1，1，－1＜x＜2，则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________.[答案]1＋2，1[解析]求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，∴x≥2或x≤－1，x2－x－1＝x，或－1＜x＜2，1＝x.解得x＝1＋2或x＝1.∴g(x)的零点为1＋2，1.9．在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.[答案]7[解析]设至少需要计算n次，由题意知1.5－1.42n＜0.001，即2n＞100.由26＝64,27＝128，知n＝7.410．函数f(x)＝2sinxsin(x＋π2)－x2的零点个数为________.[答案]2[解析]f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，则函数的零点即为函数y＝sin2x与函数y＝x2图象的交点，画图知(图略)，两图象有2个交点，则函数有2个零点．三、解答题11．已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14.证明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.[证明]令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝14，g(12)＝f(12)－12＝－18，∴g(0)·g(12)＜0.又函数g(x)在[0，12]上连续，∴存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.12．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝x＋14x，x＞0，x＋1，x≤0.(1)求g[f(1)]的值；(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．[答案](1)－2(2)[1，54)[解析](1)∵f(1)＝－12－2×1＝－3，∴g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a＜54时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是[1，54)．B组能力提升1．设f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n为y＝f(x)的两个零点，且m＜n，则a，b，m，5n的大小关系是()A．a＜m＜n＜bB．m＜a＜b＜nC．a＜b＜m＜nD．m＜n＜a＜b[答案]B[解析]因为函数f(x)＝1－(x－a)(x－b)的图象开口向下，且f(a)＝f(b)＝1＞0，所以在区间[a，b]上，f(x)＞0恒成立，所以函数f(x)＝1－(x－a)(x－b)的两个零点在区间[a，b]的两侧，即m＜a＜b＜n.故选B．2．函数f(x)＝lnx－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)[答案]B[解析]函数f(x)＝lnx－x－a的零点，即关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程lnx－x－a＝0化为方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝lnx相切时有a＝－1，若关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(－∞，－1)，故选B．3．已知函数f(x)＝1－21－x，x≥1x3－3x＋2，x＜1，则方程2f(x)＝1的根的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]依题意，由2f(x)＝1得f(x)＝12.当x≥1时，f(x)＝1－21－x＝12，x＝2；当x＜1时，f(x)＝x3－3x＋2＝12，x3－3x＋32＝0.记g(x)＝x3－3x＋32，则g′(x)＝3x2－3，当x＜－1时，g′(x)＞0，当－1＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，－1)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数，且g(－1)＝72，g(1)＝－12，因此g(x)在区间(－∞，1)上有2个零点．故方程2f(x)＝1的根的个数为3，选C．4．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.[答案](－∞，2－22][分析]化形—将不同项里出现的指数对数化成统一形式↓换元—将指数对数方程或不等式化成常见的方程或不等式形式6↓解方程—得出常见方程或不等式形式中的解↓还原求值—代入还原，求出对数(指数)的值(或取值范围)进一步求出未知数的值(或取值范围)[解析]方法一(换元法)设t＝2x(t＞0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.①若方程(*)有两个正实根t1，t2，则Δ＝a2－a＋，t1＋t2＝－a＞0，t1·t2＝a＋1＞0，解得－1＜a≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1＜0，解得a＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)＝0且－a2＞0，解得a＝－1.综上，a的取值范围是(－∞，2－22]．方法二(分离变量法)由方程，解得a＝－22x＋12x＋1，设t＝2x(t＞0)，则a＝－t2＋1t＋1＝－(t＋2t＋1－1)＝2－[(t＋1)＋2t＋1]，其中t＋1＞1，由基本不等式，得(t＋1)＋2t＋1≥22，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－22.思维升华对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数．5．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0).(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．[答案](1)m≥2e(2)(－e2＋2e＋1，＋∞)[解析](1)方法一∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，7等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．方法二作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)的大致图象如图．可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)的大致图象如图．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．