高考数学专题复习讲座专题1函数与方程

1高考数学专题复习讲座高考数学复习讲义（一）§1.集合定义记号：集合BA,集合中的元素yx,§§1.1集合的基本概念问题：什么是集合？集合的表示方法：1．列举、枚举法：列出集合所有的元素2．Venn’s图3．描述方法：○1大白话○2数学描述：给出集合中元素所满足的性质集合所包含的元素：一般意义上的元素一个集合为另一个集合的元素*集合元素的性质：1、确定性2、互异性3、无序性集合与集合、集合与元素的关系：1．某集合中的元素属于此集合2．某集合包含于含有这个集合的中所有元素的集合——（真）子集合3．某集合属于含有这个集合的集合——集合的集合记号：——属于——包含于——包含且不等于——不属于——不包含于定理1.1若BA，且AB，则BA例子：1．空集注意：空集是任意集合的子集，但空集不是任意集合的元素，即，对于任意的集合A，有A；但A，当且仅当是A的元素；2．I全集23．baa,：a属于ba,，a是ba,中的元素，baa,：a包含于ba,，a是ba,的（真）子集，baa,：a属于ba,，a是ba,中的元素；4．写出包含所有奇数的集合：列举、枚举法：,5,3,1大白话：整除的整数所有不能被2数学语言：Zkkxx,12|§§1.2集合的运算集合的交集：BxAxxBA且|集合的并集：BxAxxBA或|集合的补集：AxIxxACAIc且|定理1.2设CBA,,为3个集合，则（1）)()()(BCACBAC（2）)()()(BCACBAC（3）DeMorgan法则cccBABA)(cccBABA)(证明注意：由定理1.1，证明此定理即证每个等式左边的集合包含于右边的集合，同时等式右边的集合包含于左边的集合。例子：1．5,4,3,2,1A9,7,5,3,1B5,3,1BA9,7,5,4,3,2,1BA2．记号：N——自然数R——实数Q——有理数Z——整数R——正实数R——负实数RZNZRRRQZ0RRRCcR补集UA并集AB交集AB33．53|xxA42|xxB则：43|xxBA52|xxBA53|xxxACR或§§1.3R上集合的区间表示方法定义：开区间bxaxba|,闭区间bxaxba|,左开右闭区间bxaxba|,左闭右开区间bxaxba|,例子1．3,131|3,131|xxBxxA3,131|3,131|xxDxxC2．3,3|3,3|xxBxxA,33|,33|xxDxxC区间的运算：3,1A4,2B区间的交：3,2BA区间的并：4,1BA区间的补：,31,ACARc，,42,BCBRc专题1：函数与方程函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式y=f(x)，那么这个解析表达式可以看成是一个方程，一个二元方程，两个变量间存在着对应关系，如果这个对应关系是函数的话，那么这个方程可以看成是一个函数；一个一元方程，它的两端可以分别看作函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决。函数思想，即先构造函数，把给定问题转化对辅助函数的性质研究，得出所需的结论。4方程思想，就是把对数学问题的认识，归纳为对方程和方程组的认识。对于函数思想，应深刻理解一般函数y=f(x)、)(1xfy的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图像变换）。熟练掌握基本初等函数的性质，是应用函数思想解题的基础。函数方程思想常同数形结合、等价转化思想相互融合后才能充分发挥其具体解题的功效。【例题解析】【例1】（1）已知集合A={x|x2－ax+a2－19=0}，集合B={x|log2(x2－5x+8)=1}，集合C={x|m822xx=1,m≠0，|m|≠1}满足A∩B，A∩C=，求实数a的值；(2)已知集合P={x|x2－5x+4≤0},Q={x|x2－2bx+b+2≤0}满足PQ，求实数b的取值范围。解（1）由条件即可得B={2，3}，C={－4，2}，由A∩B，A∩C=，可知3∈A，2A。将x=3代入集合A的条件得：a2－3a－10=0∴a=－2或a=5当a=－2时，A={x|x2+2x－15=0}={－5,3},符合已知条件。当a=5时,A={x|x2－5x+6=0}={2，3}，不符合条件“A∩C”=，故舍去。综上得：a=－2。（2）显然P={x|1≤x≤4}，记f(x)=x2－2bx+b+2若Q为空集，则由Δ0得：4b2－4(b+2)0∴－1b2。若Q不是空集，则应满足42210)4(0)1(0bffΔ即41018703022bbbbb解之得：2≤b≤718综上得：－1b≤718注对于稍复杂的某些集合题目，一定要全面考虑并仔细审题，防止解的取值扩大或缩5小。本题的第（1）题，在“由3∈A求得a=－2或5”后，应清楚3∈A是其必要条件，但不是充分条件，因此必须进行检验，否则解的取值可能扩大。而第（2）小题，应该分两类（Q，Q）讨论，千万不能遗忘Q这一特殊情形。【例2】已知A、B是ABC的两个内角，且tgA、tgB是方程xmxm210的两个实根，求实数m的取值范围。分析，依题意知tgA+tgB=－mtgA·tgB=m+11,0tg,1,0tg4π0,4π04π,π0111tgtg1tgtgtgBABABABAmmBABABA故∴方程xmxm210的两个实根均在(0,1)内，下面将方程转化为函数，求m的取值范围。令fx=xmxm21，函数fx与x轴有两个交点，且交点在(0,1)内，又函数fx的对称轴方程为xm22221022010140100022mmmmmffmf解得【例3】设321,2,,yaRyxQyaxP、、是函数axfx2的反函数图象上不同的三点，若使y1、y2、y3成等差数列的实数x有且仅有一个，求实数a的取值范围。分析：函数fxax2的反函数为12log,loglogloglog232222121aayaxyxaaxyaxaxxf6axxyyy22321log2log1,,成等差数列故问题转化为方程axx22log2log1只有一个实根时，求a的取值范围。方程1222loglogxxa等价于02220222axaxaxaxxaxx（1）当2121012441422xaaaa时，，即，满足xa，∴21a满足条件。（2）当12121012441422aaxaaaa时，，即∵xaaaxaa11121121，即满足条件，故xaaa2121。由aaa121，解得a0又当a=0时，P、Q、R三点重合，故a0∴当a0或a12时，方程只有一个实根，∴所求a的范围是a0或21a。【例4】已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2－x),f(x+7)=f(7－x)（1）若f(5)=9,求：f(－5);（2）已知x∈[2,7]时，f(x)=(x－2)2，求当x∈[16,20]时，函数g(x)=2x－f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间[－1000,1000]上的根数为N，求N的最小值。解：（1）由f(x+2)=f(2－x)及f(x+7)=f(7－x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。∴f(x)=f[(x－2)+2]=f[2－(x－2)]=f(4－x)7=f[7－(3+x)]=f(7+(3+x))=f(x+10)∴f(x)是以10为周期的周期函数。∴f(－5)=f(－5+10)=f(5)=9（2）当x∈[16,17],x－10∈[6,7]∴f(x)=f(x－10)=(x－10－2)2=(x－12)2当x∈(17,20],x－20∈(－3,0],4－(x－20)∈[4,7)∴f(x)=f(x－20)=f[4－(x－20)]=f(24－x)=(x－22)2∴g(x)=22)22(2)12(2xxxx]20,17(]17,16[xx∵x∈[16,17]时，g(x)最大值为16，最小值为9；x∈（17，20]，g(x)g(17)=9,g(x)≤g(20)=36∴g(x)的最大值为36，最小值为9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在)10,0[上至少有两个解。而在[－1000，1000)上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0所以最少有401个解。且这401个解的和为－200。注题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)=22)22()12(xx]20,17(]17,16[xx一般地：当x∈[－3，2]时，4－x∈[2,7]∴f(x)=f(4－x)=(x－2)2∴当x∈[－3,7],f(x)=(x－2)2故当x∈[－3+10k,7+10k],x－10k∈[－3,7]∴f(x)=(x－10k－2)2(k∈z)∴f(x)=(x－10k－2)2x∈[－3+10k,7+10k],（k∈Z）【例5】设a是正数，ax+y=2(x≥0,y≥0)，记y+3x－21x2的最大值是M(a)，试求：（1）M(a)的表达式；（2）M(a)的最小值。8解：将代数式y+3x－21x2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求M(a)。（1）设S(x)=y+3x－21x2,将y=2－ax代入消去y，得：S(x)=2－ax+3x－21x2=－21x2+(3－a)x+2=－21[x－(3－a)]2+21(3－a)2+2(x≥0)∵y≥0∴2－ax≥0而a0∴0≤x≤a2下面分三种情况求M(a)(i)当03－aa2(a0)，即023302aaa时解得0a1或2a3时M(a)=S(3－a)=21(3－a)2+2(ii)当3－a≥a2(a0)，即02302aaa时，解得：1≤a≤2，这时M(a)=S(a2)=2－a·a2+3·a2－21·2)2(a=－22a+a6(iii)当3－a≤0；即a≥3时M(a)=S(0)=2综上所述得：M（a）=)3(2)32(2)3(21)21(62)10(2)3(21222aaaaaaaa　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9（2）下面分情况探讨M(a)的最小值。当0a1或2a3时M(a)=21(3－a)2+22当1≤a≤2时M(a)=－22a+a6=－2(a1－23)2+29∵1≤a≤221≤a1≤1∴当a1=21时，M(a)取小值，即M(a)≥M（2）=25当a≥3时，M(a)=