高考数学精讲课件计数原理与概率随机变量及其分布第九节离散型随机变量的均值与方差正态分布

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布基础盘查一离散型随机变量的均值与方差(一)循纲忆知1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题．(二)小题查验1．判断正误(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小()(3)若X～B(n，p)，则E(X)＝np(1－p)()(4)DX是随机变量的标准差，在统计中常用它来描述X的分散程度()(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)，D(Y)＝a2D(X)()×√×√×2．(人教A版教材例题改编)随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上一面的点X的均值为_____，方差为_____，标准差为_____．3.52.921.713．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝____.解析：由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下ξ012P15p45－p由E(ξ)＝1，可得p＝35，所以D(ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.25基础盘查二正态分布(一)循纲忆知利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(二)小题查验1．判断正误(1)在正态分布函数φμ，σ(x)＝12πσexμσ22()2－中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差()(2)在正态密度曲线中，当μ一定时，σ越大，图象越低矮，σ越小，图象越瘦高()(3)正态密度曲线与x轴围成的面积为1()√√√2．(人教B版教材习题改编)某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，则重量在(98.8,101.2)的糖包数量为______．10253．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，则成绩不及格的人数占________.解析：设学生的得分为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10，故P(70－10＜X＜70＋10)＝0.6826，根据正态曲线关于μ＝70对称知，不及格的学生的人数占12(1－0.6826)＝0.1587，即占15.87%.15.87%考点一离散型随机变量的均值(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．定义一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，则E(aX＋b)＝aE(X)＋b.3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.[题组练透]1．(2015·浙江名校联考)甲、乙等5名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，则X的数学期望为____．解析：根据题意，5名志愿者被随机分配到A，B，C，D四个不同岗位，每个岗位至少一人，共有C25A44＝240种，而X＝1,2，则P(X＝1)＝C15C24A33240＝180240＝34，P(X＝2)＝C25A33240＝60240＝14，故E(X)＝1×34＋2×14＝54.542．(2014·四川高考)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解：(1)X可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C13×121×1－122＝38，P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38，P(X＝100)＝C33×123×1－120＝18，P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18.所以X的分布列为X1020100－200P38381818(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X的数学期望为E(X)＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；[类题通法](2)求X的每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值定义求出E(X)．考点二离散型随机变量的方差(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝i＝1n(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．2．D(aX＋b)＝a2D(X)．3．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．4．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．[典题例析](2014·福建高考)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为X2060P1212所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100P162316X1的期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080P162316X2的期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.[类题通法]利用均值、方差进行决策均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．[演练冲关](2015·贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料．解：E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料．考点三正态分布(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．定义及表示如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝∫baφμ，σ(x)dx(即x＝a，x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.[典题例析]1．(2015·合肥质检)若随机变量X～N(2,1)，且P(X＞3)＝0.1587，则P(X＞1)＝________.解析：由X～N(2,1)，得μ＝2，因为P(X＞3)＝0.1587，所以P(X＜1)＝0.1587，所以P(X＞1)＝1－0.1587＝0.8413.0.84132．(2015·河北衡水质检)某班有50名学生，一次考试后数学成绩X(X∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤X≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_____．解析：由题意，知P(X＞110)＝1－2P90≤X≤1002＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.10[类题通法]利用正态曲线的性质求概率解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化．解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用．(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．②P(X≤a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．[演练冲关](2013·湖北高考)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(80