高考第一轮复习——函数y=f(x)对称性与周期性关系(文)

第1页版权所有不得复制年级高三学科数学（文）版本人教版（文）内容标题函数y=f(x)对称性与周期性关系编稿老师孙力【本讲教育信息】一.教学内容：函数)(xfy对称性与周期性关系【典型例题】1.定义在R上的函数)(xf，若总有)()(xafxaf成立，则函数)(xf的图象是关于直线ax成轴对称图形。反之，若函数)(xf的图象关于直线ax成轴对称图形，则必有)()(xafxaf推论，对于定义在R上的函数，若有)()(xbfxaf，则)(xf图象关于直线2bax成轴对称图形，反之亦真。证明：若对Rx，总有)()(xafxaf，设点))(,(00xfx，在)(xfy的图象上，点))(,(00xfx关于ax的对称点))(,2(00xfxa，由)]([)(00xaafxf)2()]([00xafxaaf，则点))(,2(00xfxa在函数)(xfy的图象上，由0x的任意性知)(xf的图象关于直线ax对称，反之证明略。推论，由)2()2()()(2tbaftbafxbfxaftxba显然[例1]已知cbxxxf2)(，满足)1()1(xfxf且3)0(f，当0x时，比较)(xbf与)(xcf的大小。解：由)1()1(xfxf知)(xf关于1x对称，故2b，又由3)0(f知3c，则)(xf在]1,(递减，在),1[上递增。当0x时，123xx∴)2()3(xxff即)()(xxcfbf第2页版权所有不得复制当0x时，1230xx∴)2()3(xxff，即)()(xxcfbf[例2]函数)(xfy的图象关于直线1x对称，且),0(x时xxf1)(，则当)2,(x时，)(xf的解析式为。解：依条件)2()()1()1(xfxfxfxf，设)2,(x，则)0,(2x，),0(2x故2121)2()(xxxfxf[例3]若xaxxf2cos2sin)(的图象关于直线8x对称，则a。A.2B.2C.1D.1解：由)8()8(xfxf得)8(2sin)8(2cos)8(2sinxxax)8(2cosxa)24cos()24sin(xax)8(2sin)8(2cos)24sin()24cos(xaxxax即)8(2sin)8(2cos)8(2cos)8(2sinxaxxax)]8(2sin)8(2[cos)]8(2sin)8(2[cosxxxxa∴1a[例4]设)(xf对任意Rx，满足)3()3(xfxf且方程0)(xf恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为。A.18B.12C.9D.0解：依条件知)(xf图象关于直线3x对称，方程六个根必分布在对称轴3x两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故632435261xxxxxx，所以第3页版权所有不得复制1863621xxx，选A。[例5]设)(xf满足（1）)2()(xfxf，（2）当1x时，)(xf是增函数，定义域Rx，则下列不等式成立的是（）A.)]1[arccos()31(log)0(3fffB.)]1[arccos()0()31(log3fffC.)0()]1[arccos()31(log3fffD.)31(log)0()]1[arccos(3fff解：由条件知)(xf图象关于直线1x成轴对称)2()0(ff，)4()2()31(log3fff又)()]1[arccos(ff及1x时)(xf递增∴)2()()4(fff，故选C2.对称性与周期性的关系（1）若函数)(xfy在R上的图象关于两条直线ax与bx)(ab对称，则)(xf为R上的周期函数。（2）若函数)(xfy在R上的图象关于直线ax与点),(cb)(ab对称，则)(xf为R上的周期函数。证：（1）因)(xfy图象关于ax及bx对称，则)2()(xafxf，)2()(xbfxf，故])22[()]2(2[)2()(xabfxabfxafxf得证（2）由)(xfy图象关于ax对称，有)2()(xafxf①又由)(xfy图象关于点),(cb对称，有bxx2，xbxcyy22∴)2(xbfy，)2(2xbfyc，即)2()(2xbfxfc以xa2代x有cxabfxaf2)22()2(②由①和②)22(2)2()(xabfcxafxf③第4页版权所有不得复制以xab22代x有)44(2)22(xabfcxabf又由③式])(4[)(xabfxf得证特别地，图象关于直线ax)0(a对称的偶函数必是周期函数推论，定义在R上的函数)(xf满足)()(xafxaf)0(a（1）当)(xf为偶函数时，)(xf是以a2为一个周期的周期函数。（2）当)(xf为奇函数时，)(xf是以a4为一个周期的周期函数。证：（1）)()()]([)]([)2(xfxfxaafxaafaxf（2）)]3([)4(axafaxf)]3([axaf)2(axf)]([)]([)2(axafaxafaxf)()(xfxf[例1]已知定义在实数集R上的函数)(xf满足：（1）)()(xfxf；（2）)()4(xfxf；（3）当]2,0[x时，1)(2xxf，求]4,6[x时，)(xf的解析式。解：由（1）（2）知)()4(xfxf，对任]4,6[x则]0,2[4x，]2,0[)4(x，1)4()]4([)4()(2xxfxfxf[例2]已知定义在实数集R上的函数)(xf满足：（1）)()(xfxf；（2）)2()2(xfxf；（3）当]2,0[x时解析式12xy，求]0,4[x上的解析式。解：设]2,0[4]4,2[xx)4()]2(2[)]2(2[)(xfxfxfxf721)4(2xx当]2,4[x时，]4,2[x，则72)(xxf当]0,2[x时，]2,0[x，则12)(xxf又)(xf为偶函数，知)()(xfxf第5页版权所有不得复制从而]0,2[,12]2,4[,72)(xxxxxf另法：当]0,2[x时，]2,0[x，121)(2)()(xxxfxf当]2,4[x时，]2,0[4x，1)4(2)4()(xxfxf72x[例3]函数)(xf定义在R上，且对一切Rx满足)2()2(xfxf，)7()7(xfxf，设0)0(f，问方程0)(xf在区间]1000,1000[中至少有几个实根。解：依条件10)27(2为函数)(xf的周期，4x，10x均为0)(xf的根，因此在区间]10,0(上至少有二个根∵]1000,1000[]1000,990(]980,990(]990,1000[由周期性可知1000x也为0)(xf的根所以方程0)(xf在区间]1000,1000[中至少有4011]1101000990[2[例4]若偶函数)(xf，Rx满足（1）图象关于直线ax对称)0(a，（2）在区间],0[a上是减函数，求证)(xf以a2为最小正周期。证：依条件知a2为函数)(xf的周期，假设函数)(xf还存在比a2更小的周期2b，ab220且)2()2()(axfbxfxf令bx2，则)22()0()2(baffbf（1）若aba220，则)22()0(baff与)(xf在],0[a上是减函数矛盾（2）若baa220，即ab20时，)2()2()0(bfbff与)(xf在],0[a上是减函数矛盾，所以a2是)(xf的最小正周期。[例5]已知)(xf是定义在实数集R上的偶函数，)(xg是R上的奇函数，又知（1）af)3(第6页版权所有不得复制（a是常数）；（2）)1()(xfxg试求)1999(f的值。分析：条件（2）即)1()1(xfxf，即)(xf关于点)0,1(对称又由)(xf是偶函数，故)(xf是以4为周期的周期函数解：由条件（2）知)1()1(xfxf，令tx1，则)2()(tftf)2(tf，故)()2()4(tftftf，即)(xf为以4为周期的周期函数，又由344991999，所以afff)3()34499()1999(【模拟试题】（答题时间：50分钟）一.选择题（每小题5分，共50分）1.函数431)(2xxxf的定义域为A，函数||2)(axxg的定义域为B，若BA，则实数a的取值范围是（）A.12aB.12aC.21aD.21a2.函数)56(log25.0xxy在区间)1,(mm上递减，则实数m的取值范围是（）A.]5,3[B.]4,2[C.]4,1[D.]2,1[3.已知Ryx,，且xyyx3232，则yx,满足（）A.0yxB.0yxC.0yxD.0yx4.定义在R上的奇函数)(xf为减函数，设0ba，给出下列不等式：（1）0)()(afaf（2）0)()(bfbf（3）)()()()(bfafbfaf（4）)()()()(bfafbfaf其中正确的不等式序号是（）A.（1）（2）（4）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（1）（3）第7页版权所有不得复制5.偶函数||log)(bxxfa在),0(上单调递减，则)2(bf与)1(af的大小关系为（）A.)1()2(afbfB.)1()2(afbfC.)1()2(afbfD.不能确定6.已知定义域为R的函数)(xf满足Rba,有)()()(bfafbaf，且0)(xf，若21)1(f，则)2(f（）A.2B.4C.21D.417.已知定义在R上的偶函数)(xf在区间),0[上为增函数，且0)31(f，则不等式0)(log81xf的解集为（）A.)21,0(B.),2(C.),2()21,0(D.),2()1,21(8.已知函数)(xf是R上的偶函数，且满足1)()1(xfxf，当]2,1[x时，xxf2)(，则)5.2005(f（）A.0.5B.1C.1.5D.5.19.函数)(xfy是（0，2）上的增函数，函数)2(xfy是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.)27()25()1(fffB.)25()1()27(fffC.)1()25()27(fffD.)27()1()25(fff10.设)(xf、)(xg分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，)()()()(xgxfxgxf0，且0)3(g，则不等式)()(xgxf0的解集是（）A.),3()0,3(B.)3,0()0,3(C.),3()3,(D.)3,0()3,(二.填空题（每小题4分，共24分）11.定义在R上的函数)(xf满足2)21()21(xfxf，则)82()81(ff第8页版权所有不得复制)87(f。12.已知函