数列和式放缩研究

数列和式放缩研究——探讨几类典型问题的通法高观点下杭州第十四中学李绍塔考试说明说……3、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系4、能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和（一）数列的概念与表示了解数列的概念和几种表示方法（列表、图象、通项公式）（二）等差数列、等比数列1、理解等差数列、等比数列的概念2、掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式5、能利用数列的等差关系或等比关系解决实际问题“变比”数列和的不等式高等数学希望……中学数学核心内容：函数（数列也是函数）高等数学核心概念：极限（数列极限，函数极限）1、数列是高中数学的重要知识内容,同时作为高等数学研究极限的主要对象之一,是初等数学与高等数学的重要衔接点2、高考压轴3、数学竞赛思想来源——两类极限问题（通项、和）事实上,数列和式不等式问题可看作研究无穷级数敛散性问题的一个子问题（有时甚至是等价问题），从而可以反过来从级数的视角来看数列和式的放缩.无穷级数敛散性：（1）若1limnknkaS==å，则称无穷级数1nna¥=å收敛.若1limnknka=å不存在，则称无穷级数1nna¥=å发散.（2）若级数1nna¥=å收敛，则称1nna¥=å绝对收敛.若级数1nna¥=å收敛且1nna¥=å发散，则称1nna¥=å条件收敛.方法来源——比值判别法达朗贝尔（DAlembert¢）判别法若1nna¥=å为正项级数，（1）若*MN$?，nM?，有11nnaal+?（极限形式1lim1nnnaal+=），则1nna¥=å收敛;（2）若*MN$?，nM?，有11nnaal+?（极限形式1lim1nnnaal+=），则1nna¥=å发散.事实上,该判别法在某种意义上可看作几何级数敛散性判别的推广形式，从而天然的可以结合到数列的放缩中去.——“指数型”数列操作依据定理1若(),()()fngnn为等价无穷大量,则*01,1,MNlm$?,当nM³时,有()()()gnfngnlm＃成立.证明若(),()()fngnn为等价无穷大量,即()lim1()nfngn=,故01,1lm,取min{1,1}elm=--,则存在*MNÎ,当nM³时,有()1()fngne-?成立,从而有()()()gnfngnlm＃成立.证毕.事实上,定理1蕴含夹逼的思想,从而天然的可以结合到数列的放缩中去.问题模型一.已知1()()nafngn=-,其中()gn为()fn的低阶无穷大量以及()0fn,11()nfn¥=å收敛到A,求证：12naaaS+++L,即证1nna¥=å是收敛的.题型分析由()lim0()ngnfn=可得1()()lim11()nfngnfn-=,再由定理1可得*01,MNl$?,当nM³时,有()()()11fngnfnl£-成立,于是11111()()()nMnMAfngnfnllゥ=+=+?-邋,即证.无穷级数视角下的数列放缩——“主导项”放缩法证明由定理1可知：*(0,1),,,323nnnMNnMll????成立,反之,取1M=时,为了使323nnnl-?恒成立,则max22(1)[()]33nl-?,则13l£,从而1113233nnn£-g,故121211()111333()1333213nnnaaa-+++?++=-LL,证毕.例1.已知()321nnnanN*=?-,证明不等式1232naaa+++L.证明同上,只要取2M=时,为了使得323nnnl-?恒成立,则max24(1)[()]39nl-?,则59l£,从而11(2)53239nnnn３-g，故1122311()91111331()115333105(1)3nnnaaa--+++?+++=+-LL,证毕.例1.已知()321nnnanN*=?-,证明不等式1232naaa+++L.变式1.已知()321nnnanN*=?-,证明不等式121310naaa+++L.证明同上,只要取3M=时,为了使得323nnnl-?恒成立,则max28(1)[()]327nl-?,则1927l£,从而11(3)1932327nnnn３-g，故12341271112431()519333190nnaaa+++?++++LL.例1.已知()321nnnanN*=?-,证明不等式1232naaa+++L.变式1.已知()321nnnanN*=?-,证明不等式121310naaa+++L.变式2.已知()321nnnanN*=?-,证明不等式12243190naaa+++L.例1.已知()321nnnanN*=?-,证明不等式1232naaa+++L.变式1.已知()321nnnanN*=?-,证明不等式121310naaa+++L.变式2.已知()321nnnanN*=?-,证明不等式12243190naaa+++L.实际上1121()3213limlimlim232332()3+1nnnnnnnnnnnaa++--===--Q1nna¥=\å收敛，记1nnaS¥==å，教师的高观点！不难发现这里的上界313243,,,210190L均大于S.小结11、上界313243,,,210190L直到趋向1nnaS¥==å（命题角度——师）即局部放大的过程中多留下几项,而后面所有项放大后的“盈余”也将越来越小,理论上可以让这个“盈余”想要多小就多小.2、3n即为这个分式结构中分母的“主导项”（解题思想——生）基于“主导项”思想下选取从某项开始放缩的最优系数,如以上过程中1519,,3927l=等.（可操作步骤，可教于学生）3、一个简单结论：1,..(0,1,)knnnbstabaabankall骣琪$=--??琪桫恒成立.证明由定理1可知：*(0,1),,,33nnMNnMnll????成立,反之,取1M=时,33nnnl-?恒成立,则max31(1)[]3nnl-?,则23l£,从而112333nnn£-g,故121231113()23334nnaaa+++?++LL,31494210Q\不符.例2.已知1()3nnanNn*=?-,证明不等式12149210naaa+++L.例2.已知1()3nnanNn*=?-,证明不等式12149210naaa+++L.证明取2M=时,33nnnl-?恒成立,则max32(1)[]9nnl-?,则79l£,从而7911(2)33nnnn３-g,故1223191115()273337nnaaa+++?+++LL,59191149714141415210=++=Q,\不符.例2.已知1()3nnanNn*=?-,证明不等式12149210naaa+++L.证明取3M=时,33nnnl-?恒成立,则max31(1)[]9nnl-?,则89l£,从而8911(3)33nnnn３-g,故12311911()27833919114914161415210nnaaa+++?+++=++=LL.（教师观）实际上131limlim3(1)3+1nnnnnnanan+-==-+Q（比值判别法）1nna¥=\å收敛，记1149210nnaS¥==å（学生观）3n为分母的主导项（主导项放缩法）（1）已知22[2(1)]3nnna，证明：8711154maaa（4m）；（2）已知12(1)nnna，证明：121112naaa；（3）已知3(1)4nnna--=，证明：1211174naaa；（4）已知21nna，证明：1211153naaa；（5）已知31nna，证明：1231112naaa…+.同类问题（可并项放缩也可用主导项放缩法）（2016浙江高考样卷20）——无穷级数视角下借助达朗贝尔判别法例3.已知数列na满足11a，*11()21nnanNa．（Ⅰ）证明：数列12na为单调递减数列；（Ⅱ）记nS为数列1nnaa的前n项和，证明：*5()3nSnN．21121limlim232nnnnnnnaaaaa11nnnaa收敛只要从第一项开始依次尝试局部放缩，直到结论成立即可.(1)1n³时，01na?，11212323nnnnaaaa此时21()253223313nnS，放过头！已知21121limlim232nnnnnnnaaaaa以及12111112222nnaaaa(2)2n³时，1233na＃，2-2132611461511nnnnaaaa此时12161()4241151161531553111nnSaa，成立！（2016浙江高考样卷20）例3.已知数列na满足11a，*11()21nnanNa．（Ⅰ）证明：数列12na为单调递减数列；（Ⅱ）记nS为数列1nnaa的前n项和，证明：*5()3nSnN．“递推”型数列不等式问题高观点1、数列极限视角下借助不动点定理研究通项变化高观点2、无穷级数视角下借助达朗贝尔判别法研究和式的变化高观点3、无穷级数视角下研究通项的阶与和式的阶的关系方法来源2——不动点定理压缩映射原理若()fx在R上满足：,xyR?，有()()fxfyxyl-?（01l?）——压缩条件则称()fx为定义在R上的一个压缩映射，此时，()fx在R上存在唯一的不动点0x（即满足00()fxx=）.简单迭代序列的敛散性——命题的依据和源头若将非线性方程()0fx=转化为一个同解方程()xgx=，任取初始值0a，并且*1()()nnaganN-=?，则得到序列{}na.收敛定理：若()gx在[,]ab上满足压缩条件，则迭代序列{}na收敛.推论:若()gx在[,]ab上满足sup()1gxl¢=,则数列{}na收敛，且收敛的极限即为()gx在[,]ab上的不动点.问题模型2.已知数列na满足1aa，*1()()nnaganN教师观：1、算不动点00()xgx；2、求出导数()gx，研究在0xx处的动力学性质；3、算100()nnnaxqaax，研究“变比”()nqa在0nax处的值，（1）0()1(1)qx，“等比”型（2）0()1qx，“裂项相消”型.“递推”型数列不等式问题学生法：1、算不动点00()xgx；2、“中心化”后取倒数010()1nnnqaaxax；3、累加01011()nnnfaaxax或构造1001nnpqaxax.4、放缩（一道数学竞赛题）例4.已知数列na满足012a，21112015nnnaaa，nN求n，满足：11nnaa，nN.“递推”型数列不等式问题高观点1、数列极限视角下借助不动点定理研究通项变化高观点2、无穷级数视角下借助达朗贝尔判别法研究和式的变化高观点3、无穷级数视角下研究通项的阶与和式的阶的关系变.已知数列na满足012a，21112015nnnaaa，nN（1）求证：1nnaa，nN；（2）求证：2015nan，nN.1、已知数列na满足1a=12且1na=na-2na（n*N）.（2015浙江高考20）（1）证明：112nnaa；（2）设数列2na的前n项和为nS，证明：112(2)2(1)nSnnn.2、已知数列{}na满足：2*112,1nnnaaaanN．（一道竞赛题）（1）证明：1221212nnna-++；（2）证明：12122111111221nnnaaa---+++L．同类问题（求不动点—中心化—取倒、裂项、累加）P—级数视角下的数列放缩P—级数11pnn¥=å的敛散性（1）1p£时，11pnn¥=å发散；（2）1p时，11pn