随机过程复习提纲.

14December2019随机过程第一章小结条件分布函数（连续型）00()()lim()()lim{}XYFxyPXxYyPXxyYyPXxyYyPyYy，|{,}{|}{}ijijjijiiiPXxYypPYyXxpPXxp|{,}{|}{}ijijijijjjPXxYypPXxYypPYyp条件分布律（离散型）条件概率密度(,)(,)(),()()()XYYXYXfxyfxyfxyfyxfyfx14December2019随机过程n维随机变量常用结论,,,nXXX12设相互独立，iXiiNin2,,1,2,,nncXcXcX1122nnccc2222221122,nnccc1122为任意实数。nccc12,,,N※※1212,,,,,,.nnnXXXnXXX充要条维随机变量（）服从维正态分布的是的任意线性组合服从一维正件态分布14December2019随机过程数字特征——条件期望()iEYXx离散型()()YXEYXxyfyxdy连续型()()EYXxEY若X与Y相互独立，则全期望公式11ijjjjijjipyypp.()iiiEYXxp离散型11ijijijippyp11ijijijippyp11jijijyp11jijjiyp.1jjjyp()EY14December2019随机过程数字特征——条件期望()()YXEYXxyfyxdy连续型全期望公式()()XEYXxfxdx()()XYXyfyxdyfxdx()()XYXyfyxfxdydx(,)yfxydxdy(,)yfxydxdy.()Yyfydy()EY14December2019随机过程特征函数定义()(),(,).itXXtEet12(),,,kkXPXxpk随机离变量：散型1()()kitxitXXkktEeep()Xfx随机变量：概率密度函数连续型()()()itXitxXtEeefxdx对一切随机变量，其特征函数都存在！0(0)()1iXXEe14December2019随机过程常见分布的特征函数1.两点分布((0-1)分布)1()itXetpp2.二项分布B(n,p)1(())itXntppe3.泊松分布()iteXet4.均匀分布()()()itbitaXieebatt5.指数分布222()Xtittti6.标准正态分布22()tXte14December2019随机过程特征函数的基本性质50()()(),()().kkkXntnkniEX若随机变量的阶矩存在，则它的特征函数可微分次，且对1有0()()()()kkkEXi6()随机变量的分布函数与其特征函数一一对应.（唯一性）特征函数分布函数逆转公式定义1010()(),()(),()().XXXXXttt2()()Xt为(-,+)上的连续函数.3(),()().ibtYXabYaXbteat设为常数，则的特征函数为4()()()().XYXYXYttt若随机变量与相互独立，则14December2019随机过程第二章小结随机过程{X(t)，t∈T}：样本函数、样本曲线一维分布函数,tT1(,)(()),FxtPXtxtTX(t)是一个随机变量X(t)的概率密度函数一维概率密度函数(,)1fxt：X(t)的分布律一维概率分布（一维分布律）：(())(),1,2,kkPXtxptk二维分布函数21212112212(,,)((),()),,FxxttPXtxXtxttT；14December2019随机过程例3：(),()()cos122设teYXtPeYPeNteN若该过程中任意两时刻的随机变量相互独立，试求两时刻X(t)的二维分布函数。,12112tt解X(1/2),X(1)的联合分布律1()2X(1)X12011/41/41/41/4欲求联合分布函数14December2019随机过程1()2X(1)X12011/41/41/41/412(1)01xx或：2121(,;,1)02Fxx12(2)0112xx,：21211(,;,1)24Fxx1212(3)01,1,12xxxx1或：21211(,;,1)22Fxx12(4)1,2xx：2121(,;,1)12Fxx综上12122121212120,0-11,01,-1214(,;,1)12,01,21,-1221,1,2xxxxFxxxxxxxx或或14December2019随机过程随机过程的数字特征与特征函数（1）均值函数()[()]XmtEXt（2）均方值函数22()[()]XtEXt（3）方差函数2()(()())XXDtEXtmt（4）自相关函数1212(,)[()()]XRttEXtXt（5）自协方差函数121122(,)[((()())(()())]XXXCttEXtmtXtmt（6）一维特征函数()()(,)()[]ivXtXXttvvEe14December2019随机过程数字特征之间的关系2()(,)XXtRtt()(,)XXDtCtt(,)(,)()()XXXXCstRstmsmt12121122(,)[()()],,XYRttEXtYttTtT121122(,)[((()())(()())]XYXYCttEXtmtYtmt121122(,)0,,XYCtttTtT对均成立二维随机过程的数字特征：互相关函数：互协方差函数：随机过程不相关：复随机过程的数字特征——类似14December2019随机过程()cos(),.XtAatt设,~(0,2),AaU其中为常数，求X(t)的数字特征。(P80)例6解201()(cos())cos()02XmtEAatAatd2212121201(,)(()())cos()cos()2XRttEXtXtAatatd22121201[cos(2)cos()]22Aatatatatd2212120[cos(2)2cos()]4Aatatdatat212cos()2Aatat12(,)XCtt22()(,)()2XXXAtRttDt14December2019随机过程随机过程的概率结构分类1、二阶矩过程{(),}XttTtT设为实随机过程，若对任意，均方值函数22()[()]()XtEXtXt都存实二阶在，则称为矩过程；{(),}XttTtT设为复随机过程，若对任意，均方值函数22()(())()XtEXtXt都存复二阶在，则称为矩过程。14December2019随机过程{(),},XttTn设为一随机过程，若对任意的正整数任意的1212,,,,()()()nntttTnXtXtXt个随机变量，，，相互独立，()Xt则称为独立过程。2、独立随机过程14December2019随机过程3、独立增量过程{(),}XttTn设为一随机过程，若对任意的正整数和12,(,)()()()()nijjitttTXttXtXtijXt称为在()Xt独立增量过程(可则称为加过程)。12231,((,),(,),(,))ijnnttXttXttXtt处的增量,若，相互独立，14December2019随机过程{(),}XttT设为一随机过程，4、平稳增量过程（齐次随机过程）,()()TXtXt增量的分布只依赖，()Xt齐次随机过程则称随机过程为,此时也称随机过程X(t)具有平稳增量。注：若X(t)为平稳增量过程，则对任意T中的时刻s和t，有X(t+τ)-X(t)与X(s+τ)-X(s)同分布。,tt若对任意的,t不依赖于14December2019随机过程12{(),},,,nXttTntttT设为随机过程，若对任意的及，即其概率密度为：5、正态过程12(()()())nnXtXtXtn维随机变量，，，服从维正态分布，则称X(t)为正态随机过程。11()()212121221(,,,,,,,)(2)||TxCxnnnfxxxttteC12(,,,),Tnxxxx12((),(),,())TXXXnmtmtmt其中(),(,)((),()),,1,2,,.ijnnijXijijCccCttCovXtXtijn14December2019随机过程6、维纳(Wiener)过程{(),0}Xtt设为一随机过程，若满足(1)((0)0)1;PX(2){(),0}Xtt是一齐次独立增量过程；12(3)0tt对任意的，2122121(,)()()(0,())XttXtXtNtt0其中为常数。则称随机过程{X(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程，或布朗运动。当σ＝1时称为标准维纳过程。微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动布朗运动的数学模型14December2019随机过程第四章小结随机质点流强度N(t)——[0,t)内到达的随机质点个数τn——第n个随机质点的到达时间Tn——第n-1个与第n个质点时间间隔{N(t),t≥0}泊松过程14December2019随机过程2114December2019随机过程[例4]设顾客依泊松过程到达某商店，平均每小时到达4人。已知商店上午9：00开门，试求：至9：30仅到一位顾客而11：30时总计已到达5位顾客的概率。22解4人/小时，以9:00为时间起点。设N(t)为[0,t)内到达的顾客数，()(4)Ntt((0.5)1,(2.5)5)PNN((0.5)(0)1)((2.5)(0.5)4)PNNPNN((0.5)(0)1,(2.5)(0.5)4)PNNNN则N(t)为泊松过程。((0.5)1)((2)4)...PNPN14December2019随机过程(),nn,埃尔朗分布2()=()=nnnnE,D0Z(),()=00ntnTe,tTft,t211()=()=nnET,DT10()()=(())=1ktnnktePtPNtnk!14December2019随机过程则称是一由与复合而成的复合泊松过程。[定义1]设是一强度为的泊松过程，是独立同分布随机变量序列，且与相互独立。{(),[0,)}NttT{(0)0,(),1,2,}XXnn{(),0}Ntt{(),1}Xnn()1()()NtnYtXn{(),[0,)}Ytt{(),[0,)}Ntt若令{(),1,2,}Xnn注：一般认为当t=0时，有Y(0)=0。24复合泊松过程14December2019随机过程()1()()NtnYtXn独立增量、平稳增量(1)[()1]()()XtYte()[()][(1)]YmtEYttEX2()[(1)]YDttEX非齐次泊松过程是计数过程、独立增量过程(()(),0)Nmttt(())(())()ENtDNtmt0()()tmtsds其