随机过程试题与答案

《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分）1、φX(t)=E[ejtX]2、acos(ωt+π3),acos(ωt−π4).(任意两条即可)3、N(t)为参数λ的poison过程，{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且与N(t)相互独立，则称Y(t)=∑XnN(t)n=1为复合poison过程。4、二重积分∫∫RX(s,t)dsdtbaba存在且有限。二、（本题10分）解：（1）P(N(12)−N(8)=0)=e−12.(5分)（2）fT(t)={3e−3tt00t≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。（4分）（2）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P1=(0.60.40.40.6)，P2=(0.60.40.20.8)(6分)记z(1)=(𝑧1(1),𝑧2(1))，z(2)=(𝑧1(2),𝑧2(2))，求解方程组z(1)=z(1)P1，𝑧1(1)+𝑧2(1)=1z(2)=z(2)P2,𝑧1(2)+𝑧2(2)=1得z(1)=(12,12),z(2)=(13,23)。则平稳分布为（10分）π=(λ12,λ23,0,λ12,2λ23)(12分)四、（本题13分）解：（1）Q=(−λλμ−(λ+μ)00λ00μ00−(λ+μ)λμ−μ)（4分）前进方程dP(t)dt=P(t)Q（6分）后退方程dP(t)dt=QP(t)（8分）（2）由πQ=0，∑π=1,π=(π0,π1,π2,π3)解得平稳分布为π0=1−λμ1−(λμ)4,π1=λμ(1−λμ)1−(λμ)4,π2=(λμ)2(1−λμ)1−(λμ)4,π3=(λμ)3(1−λμ)1−(λμ)4(13分)五、（本题13分）解：（1）对任意的t1,t2,⋯,tn∈R，(Z(t1)Z(t2)⋮Z(tn))=(t12t22⋮tn22t12t2⋮2tn)(XY)+(−2−2−2−2)因X,Y是相互独立的正态分布，所以(XY)是正态分布，又线性变换的性质可知(Z(t1),Z(t2),⋯,Z(tn))T服从多元正态分布，故Z(t)是正态过程。（5分）（2）RZ(s,t)=s2t2σX2+4stσY2+4，所以非平稳。（8分）RZ(s,t)在(t,t)处连续，则Z(t)是均方连续的。（10分）∂2RZ(s,t)∂s∂t=4σX2st+4σY2在(t,t)处连续，则RZ(s,t)广义二阶可导，故Z(t)是均方可导的。（13分）六、（本题12分）解：(X(t),X′(t))服从正态分布，均值为(0,0)，协方差矩阵为Σ=(RX(0)RX′(0)RX′(0−R′′X(0))（5分）联合概率密度为fXX′(𝑥1,𝑥2)=12𝜋|Σ|12exp(−12x⃗TΣ−1x⃗)其中x⃗=(x1x2)（7分）（2）(RX(0)RX(τ)RX′(0)−RX′(τ)RX(τ)RX(0)RX′(τ)RX′(0)RX′(0)−RX′(τ)RX′(τ)RX′(0)−R′′X(0)−R′′X(τ)−R′′X(τ)−R′′X(0))（12分）七、（本题12分）解：（1）()(())0XmtEXt(2分)cossincossin(,)[()()]{}XsXsYRtXstEXsYXttE22coscossinsincos()cosstEXstEYts（6分）（2）1()lim()0()2TXTTXtXtdtmtT所以均值具有各态遍历性。（8分）22221()()lim()()21lim()cossincossincoscossinsinsin(2()21lim()()2(+)cos())TTTTTTTTTXtXtYXYXtXtXtXtdtTttXtYttdtTttdtTXXRYY所以自相关函数不具有各态遍历性。（12分）八、（本题12分）解：（1）H(jω)=L[ejωt]|t=0={1T∫X(u)dutt−T}|t=0=1T∫ejωudu0−T=1T1−e−jωTjω（3分）h(t)={1/T0≤t≤T0其他（5分）（2）sX(ω)=s0，sY(ω)=|H(jω)|2s0(7分)Y(t)的平均功率为RY(0)=12π∫sY(ω)dω+∞−∞=12π∫|H(jω)|2s0dω+∞−∞=12π∫4sin2ωT2ω2T2s0dω+∞−∞=s0T（12分）