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1/9有限元法发展综述黄康装备1202班201206040206摘要:随着迅猛发展和普及起来的的计算机技术,有限单元法在现在工程领域中的研究越来越广泛。有限元分析的最终目的是还原一个实际工程系统的数学行为特征。即分析必须针对一个物理原型准确的数学模型。模型包括所有节点、单元、材料属性、实常数、边界条件以及其他用来表现这个物理系统的特征。有限元法在机械领域已成为重要工具。本文在有限元基本原理的基础上,介绍了有限元的概念、分析了有限元的设计过程、介绍了有限元软件和其在机械设计中的应用。关键词:有限元法;基本思想;分析;发展趋势一、有限元法的孕育过程及诞生和发展大约在300年前,牛顿和莱布尼茨发明了积分法,证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然,积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的,前者进行无限划分而后者进行有限划分,但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。在牛顿之后约一百年,著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式,后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。在18世纪,另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。在19世纪末及20世纪初,数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。1915年,数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法,该方法被广泛地用于有限元。1943年,数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。所以,到这时为止,实现有限元技术的第二个理论基础也已确立。20世纪50年代,飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组,首先将连续体的机翼离散为三角形板块2/9的集合来进行应力分析,经过一番波折后获得前述的两个离散的成功。20世纪50年代,大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作,这为实现有限元技术准备好了物质条件。1960年前后,美国的R.W.Clough教授及我国的冯康教授分别独立地在论文中提出了“有限单元”,这样的名词。此后,这样的叫法被大家接受,有限元技术从此正式诞生。1990年10月美国波音公司开始在计算机上对新型客机B-777进行“无纸设计”,仅用了三年半时间,于1994年4月第一架B-777就试飞成功,这是制造技术史上划时代的成就,其中在结构设计和评判中就大量采用有限元分析这一手段。在有限元分析的发展初期,由于其基本思想和原理的“简单”和“朴素”,以至于许多学术权威都对其学术价值有所鄙视,国际著名刊物JournalofAppliedMechanics许多年来都拒绝刊登有关于有限元分析的文章。然而现在,有限元分析已经成为数值计算的主流,不但国际上存在如ANSYS等数种通用有限元分析软件,而且涉及到有限元分析的杂志也有几十种之多。二、有限元法的基本思想有限元法是一种高效能、常用的计算方法.有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中(这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系)。自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程,因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地将其描绘为:“有限元法=RayleighRitz法+分片函数”,即有限元法是RayleighRitz法的一种局部化情况。不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的允许函数的RayleighRitz法,有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数),且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。有限元法的通用性与实用性导致了有限元通用程序的发展。大多数设计单位都采用商业的有限元软件,自行开发的很少。通用有限元软件的发展在数量和规3/9模上是惊人的,它们基本上均有较好的前处理、后处理和计算能力,可以满足产品开发的要求。归纳起来有以下特点:1,功能强大。一般都可进行多种物理场分析,如结构分析、温度分析、电磁场分析、流场分析、多场耦合分析等。2,具有丰富的材料库。可以处理多种材料,如金属、土壤、岩石、塑料、橡胶、木材、陶瓷、混凝土、复合材料等。3,具有多种自动网格划分技术,自动进行单元形态、求解精度检查及修正。4,具有强大的后处理及图像显示功能。5,具有与多种CAD系统直接连接的接口。有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD软件的集成使用,即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后,能直接将模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算,如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析,直到满意为止,从而极大地提高了设计水平和效率。为了满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求,许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件(例如Pro/ENGINEER、Solid-Edge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等)的接口。6,具有良好的用户开发环境和良好的培训维护能力。随着商业化的提高,各软件开发商为了扩大自己的市场份额,满足用户的需求,在软件的功能、易用性等方面花费了大量的投资,但由于用户的要求千差万别,不管他们怎样努力也不可能满足所有用户的要求,因此必须给用户一个开放的环境,允许用户根据自己的实际情况对软件进行扩充,包括用户自定义单元特性、用户自定义材料本构(结构本构、热本构、流体本构)、用户自定义流场边界条件、用户自定义结构断裂判据和裂纹扩展规律等等。著名的通用有限元软件有MSC.Marc、AN—SYS、ADINA、MSC.NASTRAN、ALGOR等软件。对于有限元方法,其解题步骤可归纳为:1.建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。2.区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。4/93.确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的,由于各单元具有规则的几何形状,在选取基函数时可遵循一定的法则。4.单元分析:将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近;再将近似函数代入积分方程,并对单元区域进行积分,可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组,称为单元有限元方程。5.总体合成:在得出单元有限元方程之后,将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加,形成总体有限元方程。6.边界条件的处理:一般边界条件有三种形式,分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件,一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件,需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。7.解有限元方程:根据边界条件修正的总体有限元方程组,是含所有待定未知量的封闭方程组,采用适当的数值计算方法求解,可求得各节点的函数值。三、有限元的应用及其发展趋势有限元的应用范围也是相当的广的。它涉及到工程结构、传热、流体运动、电磁等连续介质的力学分析中,并在气象、地球物理、医学等领域得到应用和发展。电子计算机的出现和发展是有限元法在许多实际问题中的应用变为现实,并具有广阔的前景。国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局(NASA)在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件,主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。当今国际上FEA方法和软件发展呈现出以下一些趋势特征1.从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题5/9有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析,实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足够小所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求解几个交叉学科的问题。例如当气流流过一个很高的铁塔时就会使铁塔产生变形而塔的变形又反过来影响到气流的流动„„这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解,即所谓流固耦合的问题。2.由求解线性工程问题进展到分析非线性问题随着科学技术的发展,线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现,就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题;航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力,也要考虑材料的非线性问题;诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现,仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题,只有采用非线性有限元算法才能解决。众所周知,非线性的数值计算是很复杂的,它涉及到很多专门的数学问题和运算技巧,很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件,并广泛应用于工程实践。这些软件的共同特点是具有高效的非线性求解器以及丰富和实用的非线性材料库。3.增强可视化的前置建模和后置数据处理功能早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的逐步完善,尤其是计算机运算速度的飞速发展,整个计算系统用于求解运算的时间越来越少,而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工程工作站上求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强调可视化的今天,很多程序都建立了对用户非常友好的GUI(GraphicsUserInterface),使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图便于极值搜索和所需数据的列表输出。6/94.与CAD软件的无缝集成当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用,即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计,自动生成有限元网格并进行计算,如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算,直到满意为止,从而极大地提高了设计水平和效率。今天,工程师可以在集成的CAD和FEA软件环境中快捷地解决一个在以前无法应付的复杂工程分析问题。所以当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的CAD软件(例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等)的接口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