集合部分易做易错题

一、忽视符号的含义集合中的符号语言极具抽象性，准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。对于某些新定义的集合问题，需要准确把握即时定义，理解定义中新符号的含义，力求恰到好处地解决问题，避免失误。例1.如图所示，A、B是两个非空集合，定义ABxxAxB|且，则AAB()是下图中的（）A.IB.IIC.IIID.IIIIII错解：因ABxxAxBAABxxAxB|()|且，所以且，应选C。辨析：上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使AAB()在迁移运用时出现错误。AAB()的正确理解应是xxAxAB|()且，而AB为图中的区域I，故AAB()应为图中的区域II，应选B。二、忽视空集空集是任何集合的子集，它不含任何元素，与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍为这个集合。当题目中隐含有空集参与的集合关系时，若忽视空集，则往往造成错解。例2.已知集合ABxmx1210，，|，若ABA，求实数m的值。错解：由ABABA，得当x1时，得m1当x2时，得m12故m的值为1或12辨析：当B为空集时也符合题意，此时m=0。故m0或m1或m12三、忽视代表元素构成集合的元素是有明确意义的。若对描述法表示的数集、点集中的代表元素的含义理解不透，则可致错。例3.已知集合AyyxxBxyxx||22212，，求AB。错解1：集合A与B的代表元素形式不同，不能进行交集运算。辨析：集合A、B是同一种对象的集合，只是代表元素字母不同，但要清楚这两个集合中代表元素的实际含义——都是数集。因此可以进行运算，故正确答案为AByy|0。错解2：由yxxxyxxx222221102111()()，得ABAyy|0辨析：集合A、B都是数集，且A中代表元素为y，实际上是函数yxx221的值域，即y0。B中代表元素为x，应是函数yxx22的定义域，即xR。上述解法把集合B中的代表元素也看作函数的值域，故解答过程错误。虽答案正确，但纯属巧合。错解3：由yxxyxxxy2221214916得故AB14916，辨析：集合A、B都是数集而不是点集，错解3误认为是求两个曲线的交点，故解答错误。四、忽视元素（或参数）特性集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。在解含有参数的集合问题时，忽视元素（或参数）的特性，往往容易出现错误。例4.已知1213322aaaa，，()，求实数a的值。错解：由题意aaaa211133122，或，或()解得aaa120，或，或辨析：上述解法没有考虑元素的特性而得到a的值，因此应代入检验。当a2时，()aaa133122，不符合元素互异性这一特点故a2。同理a1。故只有a0。五、忽视隐含条件集合是一种具有深刻含义的数学语言，它的内容丰富，需要表达准确。某些题目的条件中往往隐含着一些特定的内容，解题时若不能深挖隐含条件，往往会掉进陷阱，导致错误。例5.设全集UaaAaCAU232321252，，，，，||，求实数a的值。错解：由CAUAU555，得且∴且aaa2235215||解得aa24，或辨析：因为集合U为全集，因此本题隐含着集合A中的所有元素都在集合U中。当a4时，集合AU92235，，，，，显然不符合题意。故a2。另外，若注意到隐含条件，可跳出陷阱。由题意得||2132352aaa解得a2六、忽视等价转化对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误。例6.设集合MxyyxNxyaxy()()|()，，，11110，且MN，求实数a的值。错解：集合M表示直线yx2上的点的集合，集合N表示直线yax()1上的点的集合。又MN（即两直线平行时），故11a，即a0。辨析：将集合M转化为直线yx2上的点的集合是不等价的，它应除去点（1，-1）。当集合N表示的直线过这个点时，也符合MN，把点(,)11代入直线yax()1，解得a2。故aa02或练一练：已知集合AxxnnNBxxnnN|**，，，21，求AB。答案：xxnnN|*1，提示：集合中的元素是没有顺序的，集合中参数取值可以是任意的，即集合A、B中n的值并非相等。当集合A中n取3时，A中含有元素3；集合B中n取4时，B中也含有元素x4213，即n的取值可以不同，但元素是相同的。集合B中，当n为偶数时，设nkkN2，*，此时BxxkkN|*1，；当n为奇数时，设nkkN21，*，此时BxxkkN112，*。故ABxxnnN|*1，