非线性偏微分方程

第一讲概论一、非线性偏微分方程（NPDE）又称非线性数学物理方程又称非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程领域如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。二、方程的建立、分类分类{古典分类{常微分方程抛物型双曲型椭圆型耗散结构dudt=Lλu+G(uλ)三、关于NPDE研究有重要科学意义及广泛应用背景。主要研究内容集中在两个方面：一是定性。主要研究解得存在性及状态。二是定量。主要研究构建科学的精确解。四、化繁为简化偏微为常微化高阶为低阶化非线性为线性第三讲非线性偏微分方程行波解的直接积分法一、思路：对NPDEp(u,ux,ut,⋯)=0(3.1)通过行波变换ζ=∑kixini=0+wt(3.2)n是空间维数k是波矢w是频率可将NPDE化为常微分方程（ODE）p(u,uζ,uζζ,⋯)=0(3.3)如对（3.3）直接积分与可直接积分求出通解二、对KDV方程孤波解KDV方程ut+uxx+βuxxx=0(3.4)引入ζ=x−ct(3.5)(3.4)代为(u−c)∂u∂ζ+β∂2u∂ζ2=0(3.6)积分一次得β∂2u∂ζ2+12u2−cu=A(3.7)再乘u积分得12βú2+16u3−12cu2−Au=β(3.8)写成12ú2+r(u)=0(3.9)r(u)=16β(u3−3cu2−6Au−6β)(3.10)