非线性模型的线性化方法.

第7章可线性化的非线性模型7.1可线性化的7种非线性函数这一节介绍7种可线性化的非线性函数。其中包括幂函数、指数函数、对数函数、双曲线函数、多项式函数、生长曲线函数、龚伯斯曲线函数。7.1.1幂函数模型幂函数定义如下：bttaxy(7-1)其中a,b为常数。b取值不同所对应的5条幂函数曲线见图7-1和7-2。xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得Lnyt=Lna+bLnxt。令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,上式表示为yt*=a*+bxt*，成线性关系。-0.50.00.51.01.52.02.53.0255075100125150175200b10b1XY0.00.51.01.52.02.53.05101520253035404550XYb=-1b-10b-1图7-1tubtteaxy图7-2tubtteaxy7.1.1幂函数模型大家熟知的柯布−道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数模型就属于幂函数模型。其形式是tuttteCLQ(7-5)其中Qt表示产量，Lt表示劳动力投入量，Ct表示资本投入量，、、是被估参数。这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国关于生产方面的数据研究得出的。的估计值是0.75，的估计值是0.25。这是一个非线性模型，无法用OLS法直接估计。对上式两边同取对数，得LnQt=Ln+LnLt+LnCt+ut(7-6)取yt=LnQt,0=Ln,1=,2=,xt1=LnLt,xt2=LnCt，可写为，yt=0+1xt1+2xt2+ut(7-7)为线性模型。只要ut满足第5章给出的假定条件，用OLS法估计式（7-7），再返回到原模型（7-5）。根据新古典增长理论，若回归参数1+2=+=1，则称该模型为规模报酬不变型。若回归参数1+2=+1，则称模型为规模报酬递增型。若回归参数1+2=+1，则称模型为规模报酬递减型。第7章可线性化的非线性模型7.1.1幂函数模型例7-1台湾19581972年农业生产总值（yt），劳动力投入（xt1），资本投入（xt2）数据，应用柯布−道格拉斯生产函数模型评价台湾农业生产效率。得估计模型如下tLny=-3.4+1.50Lnxt1+0.49Lnxt2(-1.4)(2.78)(4.80)R2=0.89,T=15还原后得，tyˆ=0.713xt11.50xt20.49(7-8)因为1.50+0.49=1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数。当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加近2%。幂函数模型的EViews估计：在工作文件窗口点击Quick键，选EstimateEquation功能。在随后打开的对话窗口填写估计命令，以模型（7-3）为例，log(y)clog(x)这样写的好处是，模型可以直接预测到y。7.1.2指数函数模型指数函数定义如下：tbxtaeyb0和b0两种情形的函数曲线分别见图7-3和7-4。xt和yt呈指数函数关系，是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得Lnyt=Lna+bxt(7-9)令Lnyt=yt*,Lna=a*,则yt*=a*+bxt变量yt*和xt已变换成为线性关系。为了对模型进行估计，可将式(7-9)写为Lnyt=Lna+bxt+ut(7-11)其中Lna,b为待估参数，ut表示随机误差项。只要ut满足第5章给出的假定条件，那么，就可以对式（7-11）采用OLS法估计回归参数。012345678255075100125150175200XY-0.20.00.20.40.60.81.0255075100125150175200XY图7-3yt=ttubxae,(b0)图7-4yt=ttubxae,(b0)第7章可线性化的非线性模型7.1.2指数函数模型由式Lnyt=Lna+bxt，得tttttdxydydxdLnyb由上式得tttttxdxydybx，tttdxdyby。所以，对半对数模型（7-11），弹性系数是bxt，边际系数是byt。对于指数函数模型（7-12），弹性系数和边际系数都不是常数。半对数模型的一个重要应用是估计经济变量的增长率。比如式Lnyt=Lna+bxt，中的变量xt换成时间变量t。Lnyt=Lna+bt(7-13)那么，dtyyydtydydtdLnybtttttt1回归系数b近似等于单位时间内的增长率。当把xt换成时间变量t，称此模型为增长模型。7.1.2指数函数模型例7-2中国税收（Tax）增长的定量分析19902006年中国税收序列图和对数的中国税收序列图见图7-5和7-6。中国税收序列对时间呈指数函数变化特征（图7-5）。对中国税收取对数后与时间呈线性函数变化特征（图7-6）。尝试建立半对数模型，tLnTAX=7.7166+0.1589t(7-14)(393.1)(82.9)R2=0.998,T=17,(19902006)因为解释变量是时间t，所以回归系数0.1589近似测量的是中国税收的年增长率，即19902006年中国税收的年平均增长率近似是15.89%。04000800012000160002000024000280003200036000199019921994199619982000200220042006TAX7.58.08.59.09.510.010.5199019921994199619982000200220042006LOG(TAX)图7-5中国税收序列图图7-6对数的中国税收序列图7.1.3对数函数模型对数函数定义如下：yt=a+bLnxt(7-15)其中Lnxt表示对xt取自然对数运算。b0和b0两种情形的函数曲线分别见图7-7和7-8。xt和yt呈对数函数关系，是非线性的。令xt*=Lnxt,则式（7-15）改写为yt=a+bxt*(7-16)变量yt和xt*，即yt和Lnxt已变换成为线性关系。由式（7-15）得tttttxdxdydLnxdyb，由上式得tttttxdxydyyb，tttdxdyxb。所以，对数模型（7-18）的弹性系数是b/yt，边际系数是b/xt，弹性系数和边际系数都不是常数。-10123456255075100125150175200XY1234567255075100125150175200XY图7-7yt=a+bLnxt+ut,(b0)图7-8yt=a+bLnxt+ut,(b0)第7章可线性化的非线性模型7.1.3对数函数模型例7-3中国城镇居民家庭人均食品支出与可支配收入的关系19852005年28个省级地区城镇居民人均食品支出（yt）与可支配收入（xt）的数据散点图如图7-9。进一步观察Lnyt和LnLnxt的散点图，如图7-10。应该建立关于Lnyt和Lnxt的对数函数模型。010002000300040005000040008000120001600020000YX5.56.06.57.07.58.08.59.01.801.851.901.952.002.052.102.152.202.252.30Ln(Ln(x)(Ln(y)图7-9城镇居民人均食品支出与可支配收入散点图图7-10Lnyt和LnLnxt的散点图第7章可线性化的非线性模型7.1.3对数函数模型例7-3中国城镇居民家庭人均食品支出与可支配收入的关系首先用数据估计模型。得回归结果如下，tLny=-5.8117+6.2072LnLnxt（7-19）（-61.7）（137.3）R2=0.97,T=588由上式，导函数是tttttttdxxLnxydydLnLnxdLny11/2072.6，tttttxdxydyLnx//2072.6弹性系数不是常量，是弹性函数6.2072/Lnxt。说明人均食品支出对人均收入的弹性系数是随着城镇人均收入的增加而减小。当城镇人均收入为1000元水平时，当人均收入增加1%，人均食品支出增加0.8986%；当城镇人均收入增长到16000元水平时，人均食品支出对收入的弹性系数下降到0.6412%。城镇人均食品支出对人均收入的弹性系数随着人均收入的提高而递减。7.1.4双曲线函数模型双曲线函数定义如下：yt=a+b/xt(7-20)b0情形的曲线见图7-11。xt和yt的关系是非线性的。令xt*=1/xt，得yt=a+bxt*(7-21)上式已变换成线性函数。为了对模型进行估计，可将式(7-21)写为yt=a+bxt*+ut(7-22)其中a,b为待估参数，ut表示随机误差项。只要ut满足第5章给出的假定条件，那么，就可以对式（7-22）采用OLS法估计回归参数。由式（7-20）得2tttxdxdyb。由上式得ttttttxdxydyyxb，tttdxdyxb2。所以，双曲线函数模型（7-23）的弹性系数是tttyxbx，边际系数是2txb。对于双曲线函数模型，弹性系数和边际系数都不是常数。0246810255075100125150175200XY.0.1.2.3.4.5.6.7.8255075100125150175200XY图7-11yt=a+b/xt,(b0)图7-12yt=1/(a+b/xt),(b0)7.1.4双曲线函数模型双曲线函数也可以写成，1/yt=a+b/xt(7-24)或yt=1/(a+b/xt)(7-25)b0情形的双曲线函数曲线见图7-12。为了对模型进行估计，将上式写为回归模型，1/yt=a+b/xt+ut(7-26)也可写成，yt=1/(a+b/xt+ut)(7-27)xt和yt的关系是非线性的。令yt*=1/yt,xt*=1/xt，由式（7-26）得yt*=a+bxt*+ut已变换为线性回归模型。其中a,b为待估参数，ut表示随机误差项。只要ut满足第5章给出的假定条件，那么，就可以对上式采用OLS法估计回归参数。式（7-26）也称作双倒数模型。.0.1.2.3.4.5.6.7.8255075100125150175200XY7.1.4双曲线函数模型例7-4炼钢厂钢包容积与相应使用次数的关系研究。炼钢厂钢包容积yi与相应使用次数xi的数据散点图见图7-13。从散点图分析，该关系是非线性的。试建立双曲线函数（图7-14）、对数函数（图7-15）、双倒数函数散点图（图7-16），图7-14对数据的线性化程度最好，双曲线函数模型估计结果如下：ttxy18291.94687.11ˆ(7-28)(125.8)(-21.3)R2=0.9721,T=15对数函数、双倒数函数模型估计结果如下：ttLnxy8346.11574.6ˆ(16.1)(10.2)R2=0.8891,T=15ttxy11332.00817.0)/1((46.2)(14.9)R2=0.9446,T=15估计结果显示以上3个估计式，双曲线模型形式最合理。6789101112024681012141618XY67891011.05.10.15.20.25.30.35.40.45.50.551/xY图7-13yt与xt散点图图7-14yt与1/xt散点图678910110.40.81.21.62.02.42.8LOG(X)Y.09.10.11.12.13.14.15.16.05.10.15.20.25.30.35.40.45.50.551/X1/Y图7-15yt与Lnxt散点图图7-161/yt与1/xt散点图7.1.5多项式方程模型3次多项式函数的表达式是yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3(7-29)其中b30和b30情形的图形分别见图7-17和7-18。令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式变为yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3(7-30)这是一个3元线性函数。将上式写为回归模型，yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut其中b0,b1,b2,b3为待估参数，u