非高斯随机变量的结构可靠性

大连交通大学2015届本科毕业生毕业设计（论文）外文翻译1中文翻译非高斯随机变量的结构可靠性摘要：不确定性分析中的重要问题之一就是寻找通过系统传递不确定性的有效方法。在本文中，我们采用多项式混沌展开算法（PCE），因为这种算法可以减少大型工程设计软件中的计算工作量。本文的研究重点是多项式混沌展开（PCE）算法对于不同概率分布情况的实现方式。同时将研究和验证现有的两种算法——广义的多项式混沌展开算法和变换方法在处理非正态随机变量时的准确性和效率。本文将以一个高度非线性结构的无人联结翼飞机模型以及一个三元桁架结构作为例子来演示这种算法。1.引文不确定性分析的理论和方法在过去的30年里已经取得了重大的进步。因此，使用随机变量描述设计参数变得日益重要。对于那些随机性相对较小的问题，我们通常采用确定性模型，而不是一个随机性模型。然而，概率方法已经证明了在系统分析和设计时不确定度高的那些问题里的理性基础。尽管事实上它们所应用的的问题涉及相当大的不确定性，有限元方法（FEM）已经在结构工程的各个领域处理着确定性变量。因此，在结构工程中研究人员们利用随机场理论及其应用正做着大量的研究工作。在随机方法中最重要的部分是关于离散格式以及随机响应的解释。利用带有随机系数的正交基函数，比如K-L展开和多项式混沌展开能有效促进这些问题的解决。结合了K-L展开及多项式混沌展开的谱随机有限元法（SSFEM）正在变得愈发强劲，使得工程师们可以估算结构系统的风险。有关于谱随机有限元法(SSFEM)的详细说明可以在参考资料[1-3]中找到。Tatang[4]和Isukapalli[5]引入多项式混沌展开(PCE)来表示响应系统中存在的不确定性。Tatang使用概率搭配方法来获取多项式混沌展开的待定系数。Isukapalli引入偏导数模型的输出结果来提高该过程的精度。在概率搭配法中，选定的设计点必定在高概率区；因此，当兴趣在概率密度函数（PDF）的末尾时，我们应该重新考虑此数据的选择过程。Pettit等人[6]利用蒙特卡洛仿真法（MCS）实施了关于多项式混沌展开(PCE)评价系数的屈曲特征值问题的非侵入性制定过程。由于蒙特卡洛仿真（MCS）一般需要庞大的计算量才能取得收敛值，因此在使用时，小规模的计算量将得不到准确结果。Xiu和Karniadakis[7,8]使用正交多项式的阿斯基方案将多项式混沌展开（PCE）进一步扩展来表示不同的分布函数。而正交多项式的阿斯基方案将超几何正交多项式进行了分类，并指出了它们之间的极限过渡关系。例如，通过雅克比多项式可以得到拉盖尔多项式，而拉大连交通大学2015届本科毕业生毕业设计（论文）外文翻译2盖尔多项式则可以生成厄米多项式。根据前面的方法，我们可以将各种随机展开的用法——包括多项式混沌展开（PCE）和K-L展开分为两类：即非介入性公式法和介入性公式法，如图1。非介入性公式法是指多项式混沌展开（PCE）是作为一种不会干扰有限元程序的替代模型来创建响应面的。因此，非介入性分析有时又被称随机响应面法。相比之下，用多项式混沌展开（PCE）直接修改有限元（FEM）程序的刚度矩阵的则是介入性公式法。当已知协方差函数时，K-L展开可以用来代表不确定性系统的特点。然而，如果我们没有用来形成协方差函数的信息，例如结构响应的案例，那么多项式混沌展开（PCE）就可以替代K-L展开来代表这种不确定性。图.1.介入性与非介入性公式另一类不确定性量化法是专注于结构失效概率的可靠性分析法。这一领域的常用方法是一阶可靠性方法（FORM）。在一阶可靠性方法（FORM）中，极限状态近似的位于最可能失效点所在的切平面。边界是指定基于使用一阶可靠性方法（FORM）近似解的失效概率。如果位于最可能失效点的极限状态近似值都是准确的，那么边界将会产生比较好的解；否则，这种方法也许会导致巨大的错误。当失效平面高度非线性时，一阶可靠性方法（FORM）只能得出不准确解。因此，一阶可靠性方法（FORM）得出的解是震荡的，而且还包含了不合理的失效概率值。本文侧重于获得非正态随机变量情况下的失效概率，以及使用随机展开法来解释置信区的平均响应。虽然针对多项式混沌展开（PCE）的非高斯分布法的效率如前所述，与传统方法相比，它必然要将这两种方法的效率进行量化。在这项研究中，关于结构失效概率的非介入性公式的——结合了合适的非高斯法与拉丁超立方抽样法——效率估计，第一次被拿来与蒙特卡洛法（MCS）和一阶可靠性法（FORM）相提并论。结合了多项式混沌展开（PCE）与拉丁超立方抽样法（LHS）的新方法被开发，用来解决大规模具有非高斯分布的结构设计问题。当随机展开（PCE/K-L展开）介入性公式谱随机有限元非介入性公式随机响应面法/PCE大连交通大学2015届本科毕业生毕业设计（论文）外文翻译3前方法已有通过使用方差分析（ANOVA）和拉丁超立方抽样（LHS）的方法，来检查收敛准则的具体步骤，这就可以保证每个输入变量都能代表其范围内的所有部分。当构建出系统响应的近似模型之后，显著性检验以及残差分析被用来检查足够拟合的状态。另外，还得到了多项式混沌展开（PCE）的——能提供测量值可能的上下限——置信区间。2.初探和相关工作在这一节，我们将回顾关于非常规随机变量的两种方法，以及多项式混沌展开的概念。变换法是由Isukapalli提出的，而广义的多项式混沌展开（PCE）则是由Xiu和Karniadakis建议用来处理非常规分布问题的。接下来的几个小节会简要介绍这些概念以及其他关于非介入性方法的特点。2.1.非介入性公式的混合方法解决多项式混沌展开（PCE）系数的混合方法的的基本思想就是生成响应模型中的不确定性参数的近似值：(1)用拉丁超立方抽样（LHS）选择实验设计点。(2)在每个设计点模拟系统响应。(3)用多项式混沌展开（PCE）构建近似模型。(4)进行方差分析和残差分析。在这个方法中，我们希望用被称为拉丁超立方抽样（LHS）的分层抽样法来减少所需的模拟次数。结构系统的随机响应通过拉丁超立方抽样（LHS）投射到多项式混沌扩张和待定的系数估计。在系统中建立了一个不确定性的近似模型后，再用显著性检验和残差分析检查足够拟合的状态。方差分析（ANOVA）用来确定模型中重要的参变量，并且可以估计拟合不足和反应均值的置信区间。这种方法的细节可以参看参考资料[9]。2.2.拉丁超立方抽样（LHS）当模拟一个小数目且分层的抽样方案能提供可接受的精度时，为了降低所需的计算成本，我们采用了拉丁超立方抽样（LHS）法。McKay等人建议采用已被成功地用于生成多变量样本的统计分布的LHS法。在LHS法中，每个随机变量的分布可以分为n个概率相等的时间间隔或箱。每个箱都有一个分析点。总共有n个分析点进行随机混合，因此每个箱都有1n的分布概率。图2表示一般LHS法的简要步骤：(1)等概率的基础上将为每个变量的分布划分为n个不重叠的时间间隔。(2)根据概率密度在每个时间间隔选择一个随机值。(3)重复步骤(1)和(2)直到我们已选定所有随机变量的值，例如：12,,,kxxx(4)将获得的n个值中的任意一个ix与除jix外的任意一个其他值进行随机配大连交通大学2015届本科毕业生毕业设计（论文）外文翻译4对。概率区间上的概率分布函数的变化规律可以确保任何一个输入变量都能代表其范围内的所有部分，同时在响应计算中产生相对较小方差时的成本更低。LHS法也提供了灵活的样本，同时确保分层抽样,即，每个输入变量都在n个类型中进行采样。预计用LHS确定PCE的未知系数将减少所需的模拟次数。[11]中，可以发现LHS更详细的说明。(a)步骤1（b）步骤2和3（c）步骤4图.2.LHS法的基本概念：两个变量和五个实现2.3.多项式混沌展开（PCE）Ghanem和Spanos[3]指出高斯随机变量多项式混沌展开简单定义就是收敛级数，110011iiiuaa1121212211,iiiiiiia121231231233111,,iiiiiiiiiiia(1)其中11ii是一种高斯随机变量，1,,PPii是一组多阶厄米多项式的泛型元素，通常被称为齐次混沌数列p，1,,Piiaa是确定性常量，表示所涉及的随机字符的数量。得到多维厄米多项式的一般表达式如下111122,,1,,TTPPnnPiiiiee(2)其中矢量中包含n个随机变量1,,nii。变量2变量2你好久不见好吧变量2变量1大连交通大学2015届本科毕业生毕业设计（论文）外文翻译5一般而言，一阶厄米多项式的定义如下1nnn(3)其中n是第n个导数的正态密度2212e，这是方程（2）的单变量版本。从方程(3)，我们可以很轻易地找到2342531,,1,3,63,1015,i(4)正交多项式和满足01,0i和2,ijiijij01,0kkodd和21kkk(5)其中表示期望值计算。方程（1）可以简写为如下形式：0Piiiub（6）其中1b和i与1,,Piiaa和1,,PPii分别完全相同。例如，一个二阶序列，2阶多项式混沌展开如下2201122314125211ubbbbbb（7）其中1和2是两个独立的随机变量。方程（6）在非介入性公式中可被用作不确定性系统响应的替代模型。这种方法的核心思想就是将响应和随机系统算子投影到跨越多项式混沌展开的随机空间；并且通过一个有效取样方案评估投影系数。在本文，向前选择和淘汰落后的方法——据Fstatistics所说可以将回归错误最小化——在公式（6）中被用于通过LHS计算未知的投影系数ib。与厄米多项式相关的原始形式的PCE适用于高斯分布。然而，其他的正交多项式可以用来表示非高斯分布，这是广义PCE的核心思想。各个多项式和其范围的相关信息，如表1,下面的章节将描述这些概念。2.4.对PCE的平均响应的置信区间置信区间表示的其范围内分析结果的可能值。通常，任何参数的置信区间包括两部分：置信水平和错误的容限。置信水平表示该区间包含的真实参数值的概率。误差幅度表示我们对真实值猜测的准确程度。替代模型通常用于获取随机变大连交通大学2015届本科毕业生毕业设计（论文）外文翻译6量特定值的平均响应。因此，在构建了不确定性系统的替代模型之后，我们可以估计PCE在特定点平均响应的置信区间。我们首先定义矢量0x为随机变量的一个特定点12,,,n，此随机变量为：0112112221TPnx（8）其中其中p是多项式的阶次，ji是上节所述的PCE。在这一点的平均响应估计值是00ˆˆTyxx（9）其中ˆ为一组PCE的待定系数。在特定点0x处的1001的置信区间为：1122000000,,22ˆˆTTTTvvyxtxXXxyxtxXXx（10）其中v代表t分布的自由度，X是np阶的随机变量矩阵。关于多重回归分析、置信区间的相关讨论可在参考文献[12]中找到。2.5.PCE的费高斯随机变量的生成任何高斯分布的概率分布函数（PDF）表现出钟形和对称图形。然而，许多工程实际情况需要各种类型的偏态分布的。要定义各种偏态分布的形状，我们需要引入不同系列的概率分布函数，如伽玛分布或者广泛应用在工程和科学学科的指数分布。本文侧重于模拟非高斯随机变量的非介入性分析。两种方法，转化法和广义PCE算法，正在被调查并核实它们针对非正态随机变量情况下的准确性和效率。2.5