高等数学在实际生活中的应用

高高等等数数学学知知识识在在实实际际生生活活中中的的应应用用一一、、数数学学建建模模的的应应用用数数学学建建模模的的一一般般方方法法是是理理论论分分析析的的方方法法，，即即根根据据客客观观事事物物本本身身的的性性质质，，分分析析因因果果关关系系，，在在适适当当的的假假设设下下用用数数学学工工具具去去描描述述其其数数量量特特征征。。（（一一））数数学学建建模模的的一一般般方方法法和和步步骤骤（（11））了了解解问问题题，，明明确确目目的的。。在在建建模模前前要要对对实实际际问问题题的的背背景景有有深深刻刻的的了了解解，，进进行行全全面面的的、、深深入入细细致致的的观观察察。。明明确确所所要要解解决决问问题题的的目目的的和和要要求求，，并并按按要要求求收收集集必必要要的的数数据据。。（（22））对对问问题题进进行行简简化化和和假假设设。。一一般般地地，，一一个个问问题题是是复复杂杂的的，，涉涉及及的的方方面面较较多多，，不不可可能能考考虑虑到到所所有有的的因因素素，，这这就就要要求求我我们们在在明明确确目目的的、、掌掌握握资资料料的的基基础础上上抓抓住住主主要要矛矛盾盾，，舍舍去去一一些些次次要要因因素素，，对对问问题题进进行行适适当当的的简简化化，，提提出出几几条条合合理理的的假假设设。。不不同同的的简简化化和和假假设设，，有有可可能能得得出出不不同同的的模模型型和和结结果果。。（（33））建建立立模模型型。。在在所所作作简简化化和和假假设设的的基基础础上上，，选选择择适适当当的的数数学学理理论论和和方方法法建建立立数数学学模模型型。。在在保保证证精精度度的的前前提提下下应应尽尽量量用用简简单单的的数数学学方方法法，，以以便便推推广广使使用用。。（（44））对对模模型型进进行行分分析析、、检检验验和和修修改改。。建建立立模模型型后后，，要要对对模模型型进进行行分分析析，，即即用用解解方方程程、、推推理理、、图图解解、、计计算算机机模模拟拟、、定定理理证证明明、、稳稳定定性性讨讨论论等等数数学学的的运运算算和和证证明明得得到到数数量量结结果果，，将将此此结结果果与与实实际际问问题题进进行行比比较较，，以以验验证证模模型型的的合合理理性性。。一一般般地地，，一一个个模模型型要要经经过过反反复复地地修修改改才才能能成成功功。。（（55））模模型型的的应应用用。。用用已已建建立立的的模模型型分分析析、、解解释释已已有有的的现现象象，，并并预预测测未未来来的的发发展展趋趋势势，，以以便便给给人人们们的的决决策策提提供供参参考考。。归归纳纳起起来来，，数数学学建建模模的的主主要要步步骤骤可可以以用用下下面面的的框框图图来来说说明明：：问题假设建模分析应用检验、修改图1（（二二））数数学学建建模模的的范范例例例例教教室室的的墙墙壁壁上上挂挂着着一一块块黑黑板板，，学学生生距距离离墙墙壁壁多多远远，，能能够够看看得得最最清清楚楚？？这这个个问问题题学学生生在在实实际际中中经经常常遇遇到到，，凭凭我我们们的的实实际际经经验验，，看看黑黑板板上上、、下下边边缘缘的的视视角角越越大大，，看看得得就就会会越越清清楚楚，，当当我我们们坐坐得得离离黑黑板板越越远远，，看看黑黑板板上上、、下下边边缘缘的的视视角角就就会会越越小小，，自自然然就就看看不不清清楚楚了了，，那那么么是是不不是是坐坐得得越越近近越越好好呢呢？？先先建建立立一一个个非非常常简简单单的的模模型型：：模模型型11：：先先对对问问题题进进行行如如下下假假设设：：11．．假假设设这这是是一一个个普普通通的的教教室室（（不不是是阶阶梯梯教教室室）），，黑黑板板的的上上、、下下边边缘缘在在学学生生水水平平视视线线的的上上方方aa米米和和bb处处。。22．．看看黑黑板板的的清清楚楚程程度度只只与与视视角角的的大大小小有有关关。。设设学学生生DD距距黑黑板板x米米，，视视黑黑板板上上、、下下边边缘缘的的的的仰仰角角分分别别为为,。。由由假假设设知知：：A黑板aBbDC图2.3-1abbaxabxbaabxxbatnaxbxa2)(tan1tantan)tan(,tan,tan2所所以以，，当当且且仅仅当当abx时时，，)tan(最最大大，，从从而而视视角角最最大大。。从从结结果果我我们们可可以以看看出出，，最最佳佳的的座座位位既既不不在在最最前前面面，，也也不不在在最最后后面面。。坐坐得得太太远远或或太太近近，，都都会会影影响响我我们们的的视视觉觉，，这这符符合合我我们们的的实实际际情情况况。。下下面面我我们们在在原原有有模模型型的的基基础础上上，，将将问问题题复复杂杂一一些些。。模模型型22：：设设教教室室是是一一间间阶阶梯梯教教室室，，如如图图22..33--22所所示示。。为为了了简简化化计计算算我我们们将将阶阶梯梯面面看看成成一一个个斜斜面面，，与与水水平平面面成成角角，，以以黑黑板板所所在在直直线线为为y轴轴，，以以水水平平线线为为x轴轴，，建建立立坐坐标标系系（（见见图图22..33--22））。。则则直直线线OOEE的的方方程程（（除除原原点点））为为：：tanxy)0(x若若学学生生DD距距黑黑板板的的水水平平距距离离为为x，，则则DD在在坐坐标标系系中中的的坐坐标标为为)tan,(xx，，则则：：xxbxxatantan,tantan所所以以tantan1tantantan(）xxbxxaxxbxxatantan1tantanxxxbaabxba22tan)tantan(设设xxxbaabxxf22tan)tantan()(，，要要使使)tan(最最大大，，只只要要yABDxO图2.3-2)(xf最最小小就就可可以以了了。。对对)(xf求求导导得得：：222')tan1()(xabxxf当当2tan1abx时时，，0('）xf，，则则)(xf随随x的的增增大大而而增增大大；；当当2tan10abx时时，，0('）xf，，则则)(xf随随x的的增增大大而而减减小小，，由由因因为为)(xf是是连连续续的的，，所所以以当当2tan1abx时时，，)(xf取取最最小小值值，，也也就就是是2tan1abx时时，，学学生生的的视视角角最最大大。。通通过过这这两两个个模模型型，，我我们们便便可可以以解解释释为为什什么么学学生生总总愿愿意意坐坐在在中中间间几几排排。。模模型型11和和模模型型22所所应应用用的的基基本本知知识识都都是是相相同同的的，，只只是是因因为为假假设设的的教教室室的的环环境境不不同同，，建建立立的的模模型型有有些些细细微微差差别别，，所所以以结结果果不不同同，，但但这这两两个个结结果果都都是是基基本本符符合合实实际际的的。。在在解解题题过过程程中中，，我我们们只只考考虑虑了了一一个个因因素素，，那那就就是是视视角角，，其其实实我我们们还还可可以以考考虑虑更更多多的的因因素素，，比比如如：：前前面面学学生生对对后后面面学学生生的的遮遮挡挡，，学学生生看看黑黑板板的的舒舒适适度度（（视视线线与与水水平平面面成成多多少少度度角角最最舒舒服服）），，等等。。我我们们考考虑虑的的因因素素越越多多，，所所的的结结果果就就会会越越合合理理。。但但有有时时如如果果考考虑虑的的因因素素过过多多、、过过细细的的话话，，解解题题过过程程就就会会相相当当繁繁琐琐，，有有时时甚甚至至得得不不到到结结果果。。所所以以““简简化化假假设设””时时就就需需要要我我们们冷冷静静的的分分析析，，在在众众多多的的因因素素中中抓抓住住主主要要矛矛盾盾，，作作出出最最佳佳的的选选择择。。因因此此在在建建立立模模型型时时既既要要符符合合实实际际，，又又要要力力求求计计算算简简便便。。二二、、矩矩阵阵在在实实际际生生活活中中的的应应用用（（一一））有有关关矩矩阵阵的的乘乘法法矩矩阵阵AA==cadb与与a==yx相相乘乘aAcadbyx==dycxbyax)(aAcadbyx==cadbyx==ydxcybxa==dycxbyax==aAbAaAbaA)(bAaAbaA2121)(（（二二））矩矩阵阵应应用用的的范范例例——人人口口流流动动问问题题例例假假设设某某个个中中小小城城市市及及郊郊区区乡乡镇镇共共有有4400万万人人从从事事农农、、工工、、商商工工作作，，假假定定这这个个总总人人数数在在若若干干年年内内保保持持不不变变，，而而社社会会调调查查表表明明：：（（11））在在这这4400万万就就业业人人员员中中，，目目前前约约有有2255万万人人从从事事农农业业，，1100万万人人从从事事工工业业，，55万万人人经经商商；；（（22））在在务务农农人人员员中中，，每每年年约约有有1100%%改改为为务务工工，，1100%%改改为为经经商商；；（（33））在在务务工工人人员员中中，，每每年年约约有有1100%%改改为为务务农农，，2200%%改改为为经经商商；；（（44））在在经经商商人人员员中中，，每每年年约约有有1100%%改改为为务务农农，，2200%%改改为为务务工工。。现现欲欲预预测测一一、、二二年年后后从从事事各各业业人人员员的的人人数数，，以以及及经经过过多多年年之之后后，，从从事事各各业业人人员员总总数数之之发发展展趋趋势势。。解解：：若若用用三三维维向向量量((xxii,,yyii,,zzii))TT表表示示第第ii年年后后从从事事这这三三种种职职业业的的人人员员总总数数，，则则已已知知((xx00,,yy00,,zz00))TT==((2255，，1100，，55))TT。。而而欲欲求求((xx11,,yy11,,zz11))TT，，((xx22,,yy22,,zz22))TT并并考考察察在在nn→→∞∞时时((xxnn,,yynn,,zznn))TT的的发发展展趋趋势势。。依依题题意意，，一一年年后后，，从从事事农农、、工工、、商商的的人人员员总总数数应应为为即即0001000100017.02.01.02.07.01.01.01.08.0zyxZzyxYzyxX0000001117.02.01.02.07.01.01.01.08.0zyxAzyxZYX以以((xx00,,yy00,,zz00))TT==((2255，，1100，，55))TT代代入入上上式式，，即即得得::即即一一年年业业人人员员的的人人数数分分别别为为2211..55万万1100..55万万、、88万万人人。。以以及及即即两两年年后后从从事事各各业业人人员员的的人人数数分分别别为为1199..0055万万、、1111..11万万、、99..8855万万人人。。进进而而推推得得：：即即nn年年之之后后从从事事各各业业人人员员的的人人数数完完全全由由决决定定。。在在这这个个问问题题的的求求解解过过程程中中，，我我们们应应用用到到矩矩阵阵的的乘乘法法、、转转置置等等，，将将一一个个实实际际问问题题数数学学化化，，进进而而解解决决了了实实际际生生活活中中的的人人口口流流动动问问题题。。这这个个问问题题看看似似复复杂杂，，但但通通过过对对矩矩阵阵的的正正确确应应用用，，我我们们成成功功的的将将其其解解决决。。11121.510.58XYZ85.91.1