高一集合知识点

第一章集合和命题•1.1集合的概念•1.2子集•1.3交集、并集、补集•1.4命题的形式及等价关系•1.5充分条件与必要条件•基本练习1.1集合的概念•1.集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起例：{1,2,3}、A={a,b,c,d,e,f}（2）元素：集合中的每个对象例：a是集合A的一个元素•2.常用数集及记法（1）自然数集：N（2）正整数集：N*（3）整数集：Z（4）有理数集：Q（5）实数集：R高考考点•4.元素的性质（1）确定性例：{四大洋}、{小河流}（2）互异性例：已知A={a²-a,2a,2},求a的取值范围。（3）无序性例：{1,2,3}={1,3,2}3.元素与集合的关系（1）a∈A（2）aA例：设集合C中的元素是所有形如a+b（a∈Z,b∈Z）的数，求证：（1）当x∈N时，x∈C（2）若x∈C，y∈C，则x+y∈C,并判1/x是否一定属于C?25.集合的表示方法（1）列举法（2描述法）•例：1.a与{a}不同2.{（x,y)|y=x+1}与{y|y=x+1}格式：{x∈A|P（x）}注意：有些集合的公共属性不明显，不便用描述法，只能用列举法;有些集合中元素不能一一列举，用描述法。（3）图示法•1.韦恩图•2.数轴例：（1）分母小于5的正的真分数的集合；（2）数轴上到3的距离不小于5的实数的集合。6.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素（2）无限集：含有无限个元素（3）空集：不含任何元素的集合，记作Ø•注意:空集是一个集合•例：{x∈R|x²+1=0}1.2子集•1.集合相等一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,记作A=B.例：A={1,2,5}，B={2,5,1}2.子集•包含：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含于集合A，记作•若任意x∈A有x∈B，则BABA•当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，记作A／B•注意：有两种可能（1）A是B的一部分（2）A与B相等BA3.真子集•对于两个集合A与B，如果，并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集，记作A≠B，读作A真包含于B.注意：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集合的子集；（3）若A不是空集，则空集不是A的真子集；（4）任何一个集合是它本身的子集。5）BAnnaaa221的所有子集的个数是，……，，集合1.3交集、并集、补集•1.交集：一般地，由所有属于A且属于B的元素组成的集合，记作例：{1,2,3,6}∩{1,2,5,10}={1,2}•2.并集：一般地，由所有属于A且属于B的元素组成的集合，记作A∪B例：{1,2,3,6}∩{1,2,5,10}={1,2,3,5,6,10}BA交集、并集的性质•（1）若,则A∩B=A,A∪B=B;•（2）若A=B,则A∩B=A,A∪B=A;•（3）若A,B相交，有公共元素但不包含，则A交B是A的真子集，也是B的真子集；A与B都是A并B的真子集•（4）若A,B无公共元素，则A∩B=ØBA3.补集•全集：如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看做一个全集，通常用U表示•补集：一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集或余集，记作A•(A)=A,U=Ø,UCUCUCUC4.归纳总结•1.德摩根律•2容斥原理：把有限集A的元素个数记作card(A),对于两个有限集合A,B，有card()=card(A)+card(B)-card()BABABABAUUUUUUCCCCCC，BABA5.例题•例1.已知集合A={x|-2x2},B={x|x1或x-1},求与•例2.设集合A={(x,y)|2x+y=10},B={(x,y)|3x-y=5},求•例3.设A={x|x²+ax+b=0},B={x|x²+cx+15=0},又={3,5}，={3}，求实数a,b,c的值例4.已知全集U={x|x²-3x+2≧0}，A={x||x-2|1}，B={x|≧0}，求，，ABABABABABA21xxAUCBUCBUC1.4命题的形式及等价关系•1.四钟命题及其形式原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若非p，则非q逆否命题：若非q,则非p例.设原命题是“当c0时，若ab,则acbc”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题•(1)•(2)•(3)和，“且”逻辑连接词有“或”)()(2.).(“非”均为真、为真，当且仅当若qpqp至少有一个为真、为真，当且仅当若qpqp为假为真，当且仅当若pp•3.四钟命题的真假关系(互为逆否关系的命题是等价命题)原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。•4.反证法步骤：1.假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立2.从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确例.用反证法证明：如果ab0,那么ab1.5充分条件与必要条件1.推断符号“=”若p则q，表示由P经过推理可以得出q，即若p成立，那么q一定成立例.若x0,则x²0可写成x0=x²0说明：“p=q”也可写为“q=p”2.充分条件与必要条件的概念及判断•概念：如果已知p=q，就说P是q的充分条件，q是p的必要条件•例.“x0”是“x²0”的充分条件，“x²0”是“x0”的必要条件•判断1）若p=q但q≠p就说p是q的充分不必要条件2）若p≠q但q=p就说p是q的必要不充分条件3）若p≠q且q≠p就说p是q的既不充分也不必要条件第二章不等式•2.1不等式的基本性质•2.2一元二次不等式的解法•2.3其它不等式的解法•2.4基本不等式及其应用•2.5不等式的证明•基本练习1.不等式的定义•2.1不等式的基本性质•2分类1)按成立条件分绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式2）按开口方向分同向不等式、异向不等式•3.实数比较大小的方法1）作差比较法例.比较1-a和的大小（a≠0）2）作商比较法3）分子有理化法用不等号（,,≧,≦）连接两个实值函数解析式的式子；用“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“≦”或“≧”连接的不等式叫做非严格不等式。a11•4.不等式的基本性质•1）•2）•3）•4）•5）•6）bcaccbcaccba00，dbcadcba，bdacdcba00，babababa110110，nnnnbababa，0axaxaxaxaaax或，||0||5.利用不等式性质解题•例1.•设60x84,28y32,求x+y,x-¼y,的取值范围•例2.已知-1a+b3,2a-b4,记u=2a+3b,1）将u=2a+3b用a+b及a-b的代数式表示；2）求u=2a+3b的取值范围yx2.2一元二次不等式的解法•1.定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式；一般形式：•2.两种解法1）将因式分解，转化成一元一次不等式组求解2）利用一元一次不等式与二次函数、一元二次方程之间的内在联系，研究不等式在，和时各种解的情况。00022acbxaxcbxax或cbxax20003.用区间表示不等式的解集•例题解不等式1.-x²+2x+1≧02.0≦x²-2x-353.x²-ax-2a²0(讨论a)4.已知关于x的不等式ax²+bx+c0的解集为（-∞，ɑ）∪（ß，+∞）（1）求ax²+bx+c0的解集（2）若0ɑß,求cx²+bx+a0的解集设实数ab,则规定：1）集合叫做开区间，表示为（a,b）2)集合{x|a≦x≦b}叫做闭区间，表示为[a,b]3）集合{x|ax≦b}或{x|a≦xb}叫做半开半闭区间，表示为（a,b]或[a,b）4）R=（-∞，+∞）bxax|2.3其它不等式的解法•1.分式不等式形如或（其中f(x),g(x)为整式且g(x)≠0）解法1）讨论f(x),g(x)的正负2）转化为整式不等式f(x)g(x)0(或0)•2.绝对值不等式形如|x|a(a0)或|x|a(a0)•3.高次不等式化高次为低次（换元、标根、转化为不等式组）0)()(xgxf0)()(xgxf4.解不等式例题•例1.（1）（2）（3）例2.（1）|x²-5x|≧6（2）|x²-½|2x•例3.（1）|x+1||x-3|（2）|x+7|-|x-2|3例4.(x-3)(x+2)(x-1)²(x-1)³003532xx03532xx03532xx2.4基本不等式及其应用•1.基本不等式1）如果a,b∈R，那么a²+b²≥2ab,当且仅当a=b时等号成立变形：1）如果a,b∈R，那么ab≤²,当且仅当a=b时等号成立2）如果a,b∈R，那么²≤3）如果a,b,c∈R†，那么三项也适用以上公式)2(ba)2(ba222ba2）基本不等式•如果a,b∈R†，那么≥，当且仅当a=b时等号成立变形：如果a,b,c∈R†，那么三项也适用以上公式例7.已知a,b0,且a²+¼b²=1，求y=a的最大值•例1.设a,b,c是不全相等的正数，且abc=1，求证：++++•例2.a,b,c,d∈R,求证(a²+b²)(c²+d²)≥ac+bd)²•例3.设x0,求证x+≥2•例4.求3x²+的最小值2baabc1b1a1cbax1221xb212.5不等式的证明•1.比较法步骤：作差（商）、变形、判断•2.综合法以基本不等式作为基础•3.分析法(执果索因)“要证……,只要证……”