频率响应及信号的频谱

第十二章频率响应及信号的频谱重点：1．串联谐振及并联谐振的特点及分析2．正弦交流电路的幅频特性与相频特性3．非正弦周期电路的分析——平均值、有效值及平均功率难点：1．频率特性的分析2．非正弦周期函数的分解3．信号频谱的理解12.1谐振有关“谐振”的物理性质可以用运动学中的“共振”来对应理解。谐振的定义：如果在某一特定频率下工作的含有动态元件的无源单口网络的阻抗角为零，认为该单口网络在此频率情况下发生谐振。谐振电路是一种具有频率选择性的电路，它可以根据频率去选择某些需要的信号，而排除其他频率的干扰信号。12.1.1串联谐振1．串联谐振的条件我们来看下面这个RLC串联的电路：前面我们分析过RLC串联电路的复阻抗情况，||ZZ，其中2222)1()(||CLRXXRZCL，RCLarctgRXXarctgCL1按照谐振的定义：当CjLj1，即：LC1时，01RCLarctgRXXarctgCL。此时RXXRZCL22)(||。这里，我们称LC10（或LCf210）为谐振频率。谐振时的电压相量图为12-2。2．串联谐振发生时的电路特性1）电路阻抗最小——U不变时，I最大图12-2RLC串联谐振相量图UUIRUCULUR1/jC++-+-+jL__图12-1RLC串联电路的相量模型UUIRULUCU|Z|ROIf0fU/ROf0f图12-3（a）|Z|ROIf0fU/ROf0f图12-3（b）2）电路呈阻性——电源供给电路的能量全部消耗在电阻R上，而动态元件的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。3）串联谐振为电压谐振——URXIXUCCC，URXIXULLL当RX时，UUX。电力系统中，常常尽量避免谐振，以免击穿电路设备（L、C等）；而电子线路中，常用此方法获得高压。4）选频特性与品质因数Q电容或电感上的电压有效值与电源电压有效值之间的倍数。Q越大，网络选频的选择性越强。CLRRCRLUUUUQLC110012.1.2并联谐振情况1++R+1/C+L____图12-4RLC并联谐振电路一RUUCULILURICII该RLC并联电路的复阻抗YZ1||Z，而CjLjR11Y，当R1Y时，电路发生谐振。此时电路呈现阻性，阻抗为RYZ1。可见发生并联谐振的条件仍然为：电源频率等于谐振频率LC10（或LCf210）。谐振时的电流相量图为12-5：2．并联谐振发生时的电路特性1）电路阻抗最大——I不变时，U最大见图12-62）电路呈阻性——电源供给电路的能量全部消耗在电阻R上，而动态元件图12-5并联谐振相量图一IRILICIU|Z|ROIf0fU/ROf0f图12-6的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。3）串联谐振为电流谐振——IXRICC，IXRILL当XR时，IIX。4）选频特性与品质因数Q定义为电容或电感上的电流有效值与干路电流有效值之间的倍数。Q越大，网络选频的选择性越强。LCRCRLRIIIIQLC00情况2实际上的并联电路往往是以下这种模型该RLC并联电路的复阻抗YZ1||Z，即LCRCjLjRCjLjRCjLjR211)(1)(Z当LR时)1(112LCjLRCLCRCjLjZ电路发生谐振时，电路呈现阻性，阻抗为RCLZ。可见发生并联谐振的条件仍然为：电源频率等于谐振频率LC10（或LCf210）。谐振时的电流相量图为12-8，这种情况下并联谐振发生时的电路特性与前面的并联谐振情况相同。12.2频率特性在前面的内容中，我们着重讨论固定频率（同一频率）情况下正弦交流电路的稳态响应。这一节中，我们开始研究在电路其他参数不变的前提下，仅改变电路（电源）的频率时的电路响应的情况。所谓频率特性，正是用来分析电路的响应随着频率变化的规律。在前面的内容中，我们曾经提到过电容元件通高频阻低频、电感元件通低频阻高频的性质，其实这正是两种元件在不同的频率情况下响应不同的体现。12.2.1幅频特性与幅频特性曲线以网络函数中的策动点阻抗为例。前面我们谈到过单口网络的阻抗的意义：)(|)(|jZIUZ，其中|)(|jZ为端口电压与端口电流的幅值比随着频率变化的关系，即表征了在相同电流源大小的情况下，在单口网络与电流源同一端口产生的电压大小与电源频率之间的关系。mmIUIUjZ|)(|图12-8并联谐振相量图二UCIICIRILI+R-jXC_jXL图12-7RLC并联谐振电路二ULICII感性负载幅频特性曲线——在以频率为横轴，|)(|jZ为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的幅频特性曲线。12.2.2相频特性与相频特性曲线其中)(表征端口电压与端口电流的相位关系随着频率变化的规律。相频特性曲线——在以频率为横轴，)(为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的相频特性曲线。12.2.3示例以前面讲到的RLC并联电路为例)(1)1(11111LRCRjRLCjRCjLjRZ前面我们已经得出：CRLRQ00，所以：0QCR，0QLR，代入上式：)(1)(00jQRjZ这样，阻抗对应的幅频特性为：2002)(1|)(|QRjZ相频特性为：)()(00arctgQ因此，该电路的网络函数——策动点阻抗对应的幅频特性曲线及相频特性曲线如下，当电路的品质因数变化时，相频特性的变化规律同时见图12-9。12.2.4通频带在上述电路中，如果电路入端阻抗的模不低于谐振时阻抗模的21（=0.707）的频率范围。称为“通频带”。通频带的宽度决定了幅频特性曲线的尖锐程度——通频带越窄，幅频特性曲线越尖锐，Q值越高，选择性越好；但是通频带太窄，传送信号时越容易产生波形失真。因此，在利用网络的频率特性进行选频的时候，往往要综合考虑选择性与通频带这两个方面的问题。见图12-10。12.2.5滤波器低通、高通、带通、带阻、全通。实际上，产生谐振时，电路的幅频特性即为一种带通的滤波性质。这里只介绍一阶滤波器（在网络函数部分将介绍二阶滤波器）++R+1/C+L____RUUCULILURICII|Z(j)|RQ=50Q=100Q=200幅频特性曲线1/0()Q=20090oQ=100Q=5060o30o0o/0-30o-60o相频特性曲线-90o图12-9RLC并联电路的频率特性曲线|Z(j)|R0.707R幅频特性曲线1/0图12-10频率特性的通频带1．RC串联电路的低通滤波器图中，RCjCjRCjii1111UUUo，所以其电压放大函数为：RCjjio11)(UUH，其中，网络函数的幅频特性为：2)(11)(RCH，网络的相频特性为：)()(RCarctg其幅频特性曲线及相频特性曲线如12-12。R++C--图12-11RC低通滤波器iUoUH()10.707O/0()O-45o-90o图12-12低通滤波器频率特性2．RC串联电路的高通滤波器12-13C++R--图12-13RC高通滤波器iUoUH()10.707O/0()90o45o0图12-14高通滤波器频率特性在图中RCjRCjCjRRii11UUUo，因此，其电压放大函数的表达式为：)](90[)(11)(2RCarctgRCRCRCjRCjjoH其中，幅频特性为：2)(1)(RCRCH，相频特性为：)(90)(oRCarctg其幅频特性曲线及相频特性曲线如12-143．超前滞后网络在电子技术中，该网络常常用在正弦波振荡器（文氏电桥振荡器）中作为选频部分（几个Hz到几百kHz）——参见《模拟电子技术》或高频电子技术，而在《自动控制理论》中，常常利用其相位超前及滞后的特点。RC++CR--图12-15超前滞后网络iUoU在图中，所求的网络函数的表达式为：1)(3)()1(1111)1()//1(//1)(2RCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjjiUUHo令RCC1，该网络函数变为1)(3)()(2CCCjjjH其中若Ck，则该网络函数变为2222229)1()1(313)(kkkjkkkjkjkjH其中，网络函数的幅频特性为：2)(1)(RCRCH，网络的相频特性为：kkarctg31)(2由该相频特性可见，该网络可以因为电源频率的不同，使得输出电压超前或者滞后于输入电压（在自控理论中常用）。特别地，在满足一定条件时，两者还可以同相，分析如下。当12k即1k时，319)1()1(3)(22222kkkjkkjH这说明，该网络的输入电压与输出电压同相，且输出电压为输入电压的三分之一，满足该性质的网络要求电压的输入频率为1Ck，即RCC1。12.3非正弦周期电路与频谱对于线性非时变电路而言，可以运用叠加定理计算多个正弦电源作用下的稳态响应，前面我们往往只涉及到同频率的情况，如果这些正弦电源的频率不同，电路分析的情况又会有改变。本章中，我们先从叠加的角度来看非正弦周期电路的分析，然后，我们再从分解的角度来看非正弦周期电路的分析及频谱的概念。12.3.1正弦稳态的叠加一、不同频率的激励作用时根据线性电路的叠加定理，我们可以分别计算该电路中的两个电源作用时产生的响应。我们看下面的电路，其中VtuS5cos210，A4cos22tiS，由于两个电源的频率不同，就整个电路来说，我们不能直接使用相量法。但是根据叠加定理，我们可以将该线性电路的响应分为两个不同频率点单个电源作用下产生响应的和，因此，我们可以单独对每一个电源作用下的电路使用相量法。再笔筒频率下，电容与电感对应的阻抗为不同的值，再相量电路绘出之后，就可以按照原来所学的方法计算该电路的响应了。11F+1HuS_iS图12-17不同频率的电源叠加1-0.2j+5j10o0o'I-(a)1-0.25j4j2o0o''I(b)图（a）是电压源单独作用时的电路，其中的阻抗根据srad/5计算；图（b）是电流源单独作用时的电路，其中的阻抗根据srad/4计算；图（a）中Ajjjjj.jj.jooo8.112.105242502.055205)20(51010'I图（b）中Ajjjjooo9.1406.24153225.041402'I所以：Atio)8.115cos(22.10'oAtio)9.144cos(206.2''o待求量：AtAtiiiooo)9.144cos(206.2)8.115cos(22.10'''oo二、各种频率正弦激励的叠加tAtfsin4)(1)3sin31(sin4)(2ttAtf)5sin513sin31(sin4)(3tttAtf)7sin715sin513sin31(sin4)(4ttttAtfP267f1(t)4A/Otf2(t)AOtf3(t)AOtf4(t)AOt12.3.2非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱一、非正弦周期函数的傅立叶分解1．定义如果给定的周期函数)(tf满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有限个极值点与不连续点），则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦