重叠相加法和重叠保留法的原理与实现

重叠相加法与重叠保存法的原理实现侯凯（吉林大学通信工程学院吉林长春130012）0概述线性卷积是求离散系统响应的主要方法之一，许多重要应用都建立在这一理论基础上，如卷积滤波等。用圆周卷积计算线性卷积的方法归纳如下:将长为N2的序列x(n)延长到L,补L-N2个零，将长为N1的序列h(n)延长到L,补L-N1个零。如果L≥N1+N2-1,则圆周卷积与线性卷积相等，此时,可有FFT计算线性卷积，方法如下：a.计算X(k)=FFT[x(n)]b.求H(k)=FFT[h(n)]c.求Y(k)=H(k)Y(k)k=0～L-1d.求y(n)=IFFT[Y(k)]n=0～L-1可见，只要进行二次FFT,一次IFFT就可完成线性卷积计算。上述结论适用于x(n)、h(n)两序列长度比较接近或相等的情况，如果x(n)、h(n)长度相差较多。例如，h(n)为某滤波器的单位脉冲响应,长度有限，用来处理一个很长的输入信号x(n)，或者处理一个连续不断的信号，按上述方法，h(n)要补许多零再进行计算，计算量有很大的浪费，或者根本不能实现。为了保持快速卷积法的优越性，可将x(n)分为许多段后处理，每小段的长与h(n)接近，其处理方法有两种：重叠相加法和重叠保留法。1重叠相加法——由分段卷积的各段相加构成总的卷积输出假定xi(n)表示图中第i段x(n)序列如下图：22()(1)1()0ixniNniNxn则输入序列可表为：()()iixnxn图1长序列分段滤波于是输出可分解为：()()*()()*()()iiiiiynxnhnxnhnyn其中()()*()iiynxnhn由此表明，只要将x(n)的每一段分别与h(n)卷积，然后再将这些卷积结果相加起来就可得到输出序列，这样，每一段的卷积都可用上面讨论的快速卷积来计算。先对h(n)及xi(n)补零，补到具有N点长度，N=N1+N2-1。一般选择N=2M，然后用基2FFT算法通过正反变换计算()()*()iiynxnhn由于yi(n)长度为N，而xi(n)的长度为N2，因此相邻两yi(n)序列必然有N-N2=N1-1点发生重叠，这个重叠部分应该相加起来才能构成最后的输出序列。计算步骤：a.事先准备好滤波器参数()[()]HkDFThn,N点b.用N点FFT计算[()]iiXDFTxnc.()()()iiYkXkHkd.用N点IFFT求()[()]iiynIDFTYke.将重叠部分相加()()iiynyn图2重叠相加法示意图2重叠保存法这种方法和第一种方法稍有不同，即将上面分图序列中补零的部分不是补零，而是保留原来的输入序列值，且保留在各段的前端，这时，如利用DFT实现h(n)和xi(n)的圆周卷积，则每段卷积结果的前N1-1个点不等于线性卷积值需舍去。为了清楚地看出这点，研究一下x(n)中一段长为N的序列xi(n)与h(n)（长为N1）的圆周卷积情况：10()()()()(())()NiiiNNmynxnhnxmhnmRn由于h(n)的长度为N1，当0≤n≤N1-2时，h((n-m))N将在xi(m)的尾部出现有非零值，所以0≤n≤N1-2这部分yi(n)值中将混入xi(m)尾部与h((n-m))N的卷积值，从而使yi(n)不同于线性卷积结果，但当n=N1-1～N-1时，则有h((n-m))N=h（n-m），因此从n=N1-1点开始圆周圈卷积值完全与线性卷积值一样，yi(n)的后面N2点才是正确的卷积值，而每一段卷积运算结果的前N1-1点个值需去掉。图2重叠保留过程为了不造成输出信号遗漏，对x(n)分段时，需使相邻两段有N1-1个点的重叠（对于第一段，x(n)由于没有前一段保留信号，在其前填补N1-1点个零点）。为此将xi(n)定义为21(1)01()0ixniNNnNxn其它每段和h(n)的圆周卷积以yi(n)表示，()()()iiynxnhn,由FFT算出，去掉yi(n)的前N1-1点，再把相邻各段输出顺次连接起来就构成了最终的输出序列y(n)。重叠保留法每一输入段均由N-N1+1=N2个新点和前一段保留下来的N1-1个点所组成。值得注意的是，对于有限长时间序列x(n)（长度为L=MN2），在结束段（i=M-1）做完后，我们所得到的只是L点的线性卷积，还少了N1-1点，实际上就是h(-n)移出x(n)尾部时的不完全重合点，或者说是最后一段的重叠部分N1-1少做了一次卷积，为此，因再补做这一段N1-1点，在其后填补N2点个零点保证长度仍为N点，一样舍去前取N1-1点，并从N1-1点开始，保留N1-1点。重叠保留法与重叠相加法的计算量差不多，但省去了重叠相加法最后的相加运算。一般来说，用FFT作信号滤波，只用于FIR滤波器阶数h（n）大于32的情况下，且取N2=（5～10）N1，这样可接近于最高效的运算。3应用举例例：已知有长序列X=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,],h=[3,2,1,4,5]，求线性卷积。解：重叠相加法得：Y=[3,8,14,24,39,54,69,84,99,87,84,90,69,39,54,69,84,99,84,76,79,53,14,24,39,54,69,84,99,84,76,76,45,0]程序：function[Y]=overpl(x,h,N)%N为分段段长度；x为长序列;h为短序列Lx=length(x);M=length(h);x=[x,zeros(1,N)];t=zeros(1,M-1);Y=zeros(1,Lx+M-1);a=floor(Lx/N);y2=fft(h,N+M-1);forK=0:a%循环a+1次A=x(K*N+1:K*N+N);y1=fft(A,N+M-1);y3=y1.*y2;q=ifft(y3,N+M-1);Y(K*N+1:K*N+M-1)=q(1:M-1)+t(1:M-1);Y(K*N+M:K*N+N)=q(M:N);t(1:M-1)=q(N+1:N+M-1);endY=Y(1:Lx+M-1);重叠保留法：结果与上述相同，程序如下：function[Y]=overlpsav(x,h,N)%N为分段长度；x为输入长序列；h为短序列Lx=length(x);M=length(h);L=M+N-1;%分段后的总长度x=[zeros(1,M-1),x,zeros(1,N)];a=floor((Lx+M-1)/N);c=fft(h,L);forK=0:axk=x(K*N+1:K*N+L);b=fft(xk,L);H=ifft(b.*c,L);Y(K*N+1:K*N+N)=H(M:L);endY=Y(1:Lx+M-1);