重庆大学数学实验第五次

开课学院、实验室：DS1422实验时间：2015年4月10日课程名称数学实验实验项目名称水塔用水量的估计——插值实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师肖剑成绩实验目的[1]了解插值的基本原理[2]了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想；[3]了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；[4]掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法；[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。提高写作、文字处理、排版等方面的能力。实验内容1．编写拉格朗日插值方法的函数M文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；针对实际问题，试建立数学模型，并求解。基础实验1.一维插值利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。1）211x，x[-5,5]；分段线性插值程序如下：x=-5:5;temps=[1/261/171/101/51/211/21/51/101/171/26];h=-5:.1:5;t=interp1(x,temps,h)x1=linspace(-5,5,100);y1=1./(1+x1.^2);plot(x,temps,'g',h,t,x1,y1,'r')title('分段线性插值曲线')图1三次样条插值程序如下：x0=linspace(-5,5,11);y0=1./(1+x0.^2);x=linspace(-5,5,100);y=interp1(x0,y0,x,'spline');x1=linspace(-5,5,100);y1=1./(1+x1.^2);plot(x1,y1,'k',x0,y0,'+',x,y,'r');图2拉格朗日多项式插值程序如下：m=101;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5),gtext('y=1/(1+x^2)'),pausen=3;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y1,'b'),gtext('n=2'),pause,holdoffn=5;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y2=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause,holdoffn=7;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y3=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y3,'r'),gtext('n=6'),pause,holdoffn=9;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y4=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y4,'r:'),gtext('n=8'),pause,holdoffn=11;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y5=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y5,'m'),gtext('n=10')图32）sinx,x[0,2];分段线性插值程序如下：x=0:1/2*pi:2*pi;temps=[010-10];h=0:.1:2*pi;t=interp1(x,temps,h);x1=linspace(0,2*pi,100);y1=sin(x1);plot(x,temps,'g',h,t,x1,y1,'r')title('分段线性插值曲线')图4三次样条插值程序如下：x=linspace(0,2*pi,5);y=sin(x);x1=linspace(0,2*pi,100);y1=interp1(x,y,x1,'spline');x2=linspace(0,2*pi,100);y2=sin(x2);plot(x,y,'+',x1,y1,'k',x2,y2,'y');图5拉格朗日多项式插值程序如下：m=101;x=0:10/(m-1):2*pi;y=sin(x);z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5),gtext('y=sin(x)'),pausen=3;x0=-5:10/(n-1):5;y0=sin(x0);y1=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y1,'b'),gtext('n=2'),pause,holdoffn=5;x0=-5:10/(n-1):5;y0=sin(x0);y2=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause,holdoffn=7;x0=-5:10/(n-1):5;y0=sin(x0);y3=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y3,'r'),gtext('n=6'),pause,holdoffn=9;x0=-5:10/(n-1):5;y0=sin(x0);y4=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y4,'r:'),gtext('n=8'),pause,holdoffn=11;x0=-5:10/(n-1):5;y0=sin(x0);y5=lagr1(x0,y0,x);holdon,plot(x,y5,'m'),gtext('n=10')图6注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。2．高维插值对于二维插值的几种方法：最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？)(sin),(pxttxf，参数p=1/2000~1/200；采样步长为：t=4ms~4s；x=5~25m.程序：t=linspace(0,4,10);x=linspace(5,25,10);[t,x]=meshgrid(t,x);z=sin((t-1/200.*x)*2);[t1,x1]=meshgrid(linspace(0,4,100),linspace(5,25,100));z1=interp2(t,x,z,t1,x1,'cubic');z2=interp2(t,x,z,t1,x1,'nearest');z3=interp2(t,x,z,t1,x1,'linear');mesh(t1,x1,z1);pausemesh(t1,x1,z2);pausemesh(t1,x1,z3);三次插值，插值效果变化最好|图7最邻近插值，插值效果变化最差|图8线性插值，插值效果变化一般|图9应用实验（或综合实验）3．火车行驶的路程、速度数据如表7.2，计算从静止开始20分钟内走过的路程。表7.2t(分)2468101214161820v(km/h)10182529322011520t=0:2:20;v=[010182529322011520];h=0:0.000001:20;x=interp1(t,v,h,'spline');H=h./60;z=sum(H.*0.000001)plot(t,v,'+',h,x,'r')z=3.3333图104．确定地球与金星之间的距离天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表7.3。表7.3日期（号）18202224262830距离对数9.96177249.95436459.94680699.93909509.93122459.92319159.9149925由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？t=[18202224262830];l=[9.9617729.95436459.94680699.93909509.93122459.92319159.9149925];h=18:0.0625:30;x=interp1(t,l,h,'spline')结果：x=26号1时30分5日照时间分布表7.4的气象资料是某一地区1985-1998年间不同月份的平均日照时间的观测数据（单位：小时/月），试分析日照时间的变化规律。表7.4月份123456789101112日照80.967.267.150.532.033.636.646.852.362.064.171.2程序：x=1:12;y=[80.967.267.750.532.033.636.646.852.362.064.171.2];x1=linspace(1,12,120);y1=interp1(x,y,x1,'spline');plot(x1,y1)图11日照时间由1月到12月先减后增。6．山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800）（0，2400）内，单位：米）测得一些地点的高程（单位：米）如表7.5，试作出该山区的地貌图和等高线图。表7.5240020001430145014701320128012001080940145014801500155015101430130012001600120080040001460150015501600155016001600160013701500120011001550160015501380127015001200110013501450120011501230139015001500140090011001060118013201450142014001300700900Y/X040080012001600200024002800x=2800:-400:0;y=2400:-400:0;z=[1430145014701320128012001080940;14501480150015501510143013001200;14601500155016001550160016001600;13701500120011001550160015501380;12701500120011001350145012001150;1230139015001500140090011001060;118013201450142014001300700900;];figure(1);meshz(x,y,z)xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')xi=0:50:2800;yi=0:50:2400;figure(2)z1i=interp2(x,y,z,xi,yi','nearest');surfc(xi,yi,z1i)xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')figure(3)z2i=interp2(x,y,z,xi,yi');surfc(xi,yi,z2i)xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')figure(4)z3i=interp2(x,y,z,xi,yi','cubic');surfc(xi,yi,z3i)xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')figure(5)subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10,'r');subplot(1,3,2),contour(xi,yi,z2i,10,'r');subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10,'r');总结与体会设计记录表格，包括碰到的问题汇总及解决情况注行距：选最小值16磅，每一图应有简短确切的题名，连同图号置于图下。每一表应有简短确切的题名，连同表号置于表上。图表的题名及其中的文字采用小5号宋体。公式应该有编号，编号靠右端。教师签名年月日备注：1、同一章的实验作为一个实