量子力学初步2014.

第25章量子力学初步25.1波函数及其统计解释25.2不确定关系25.3薛定谔方程25.4一维定态问题25.5力学量的平均值与算符2/5525.1波函数及其统计解释一、粒子的波动性在经典力学中，研究对象被明确地区分为粒子和波。实物粒子：有一定的体积、质量和电荷运动规律遵循牛顿定律。能够集中、整体地交换能量和动量。波动：弥散于整个空间的扰动其运动服从叠加原理，具有波动所特有的干涉、衍射等效应。能够广延、连续地交换能量和动量。（定域的）（非定域的）1.介绍在经典力学的框架下，波和粒子很难统一到一个客体上。3/551905年，光量子假说：h1917年，光子动量假说：/ph光的波粒二象性粒子性波动性（能量）（频率）（动量）（波长）ph两组力学通过h来联系1923年，康普顿散射实验：证实光子粒子性1.光(波)具有粒子性，实物粒子具有波动性吗?问题：2.若有，如何验证？4/55那么实物粒子也应具有波动性1924年，德布罗意从自然界的对称性出发认为:既然光(波)具有粒子性不仅光具有波粒二象性，而且一切实物粒子(静止质量m0≠0的粒子）也具有波粒二象性。2.德布罗意假设德布罗意关系式hhpmhmchE2一个总能量为E（包括静能在内）,动量为p的实物粒子同时具有波动性,且满足Eph粒子性波动性与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波德布罗意波长5/55质量m=0.001kg，速度v=300m/s的质点m10212330.vmhkg1011931.em16ms10v电子m102871010119106361063134...vemh2mcEpmv实验难以测量宏观物体只表现出粒子性玻尔的氢原子轨道量子化的直接推导nr2phn2hnrpnL+Henr6/55经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注，物理学家们纷纷做起了电子衍射实验。论文答辩会上有人问:“这种波怎样用实验来证实呢？！”德布罗意答：“用电子在晶体上的衍射实验可以证实。”爱因斯坦对此论文高度评价为：“他揭开了自然界舞台上巨大帷幕的一角！”实验证实了德布罗意的想法，为此他获得了1929年的诺贝尔物理学奖。7/55德布罗意指出：用电子在晶体上的衍射实验可以证明物质波的存在02khhpmEeUmhph02U=100V时，=0.123nm电子的波长：设加速电压为U（单位为伏特）1.23nmU电子波波长与X射线相当3.物质波的实验验证：电子衍射8/55当满足2dsin=k（k=1，2，3）时，可观察到I的极大。GNi单晶片抽真空UICCCIUCkemdhkU02sin2即当，2C,3C…时，CUeUmhph02可观察到电流I的极大（即衍射极大）。1)戴维逊—革末实验（1927年）9/552)G.P.汤姆逊（1927年）电子通过金多晶薄膜的衍射实验衍射图象实验原理3)琼森(Jonsson)实验（1961）30.3μm1μm50kV5.010nmadV基本数据先后验证：质子、中子和原子、分子等实物粒子都具有波动性，满足德布洛意关系。10/55例m=0.01kg，v=300m/s的子弹m34341021.230001.01063.6vmhph“宏观物体只表现出粒子性，并不是说没有波动性”波长波粒二象性是普遍的结论，宏观粒子也具有波动性4.应用电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，可大大提高电子显微镜的分辨率。1932年，德国的鲁斯卡研制成功电子显微镜。1)电子显微镜2)扫描隧道显微镜1981年，德国的宾尼希和瑞士的罗雷尔制成了扫描隧道显微镜，获1986年的诺贝尔物理学奖金。其横向分辨率可得0.1nm，纵向分辨率可得0.001nm。11/55物质波的波速u并不等于相应粒子的运动速度V，它们之间的关系是22hmccumVhVc而物质波V注意1注意2光波的波速等于光子的运动速度，两者都等于c。光波5.关于物质波的讨论由粒子的动能求德布罗意波长注意322220EEpc相对论情况200=cmE非相对论情况0khh==p2mE022=mpEk220hhc==pEE12/55二、对波粒二象性的理解经典粒子是某种实在物理量随时间和空间作周期性变化，满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象具有确定的质量,其运动规律遵循牛顿定律。经典波给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等就具有确定的数值。1.经典粒子和波2.微观粒子波粒特性的错误理解──电子看作是波包波是基本的波包要扩散、消失，──波是大量电子相互作用形成的粒子是基本的单电子的双缝衍射实验：（1949前苏联费格尔曼）13/557个电子100个电子3000个20000个70000个底片上出现一个个的点子电子具有粒子性。随着电子数目增多，逐渐形成衍射图样“单个电子”的波动性，不是电子间相互作用的结果。来源于14/55粒子性：指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”。但不是经典的粒子！在空间以概率出现。没有确定的轨道应摒弃“轨道”的概念！波动性指它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”、“衍射”、等现象。但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波动。3.正确理解微观粒子的波粒二象性15/55你能看到的是老人还是情侣？16/55即电子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。但它既具有经典粒子的某种属性，又具有经典波的某种属性。波粒二象性只是对这两种属性的比喻，电子就是电子本身！电子到底是什么？波和粒子都是宏观概念，当我们进入亚微观状态领域时，它们就变得不那么贴切了！“电子既不是粒子，也不是波”费曼：17/55三、波函数怎样理解物质波?到底谁在波动？1.玻恩的统计诠释1926年6月，玻恩（Born)认为：物质波并不像经典波那样代表实在物理量的波动，而是描述粒子在空间分布的概率波。量子力学基本原理之一：一个微观客体在时刻t的状态,用波函数(一般是复函数)完全描述。tzyx,,,代表t时刻，在点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度。r物质波的波函数是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。),(),(),(*2trΨtrΨtrΨ其模的平方：18/552.自由粒子的波函数自由粒子波函数.const==.const==phhE，类比，沿+x传播的平面波：2()(,)xityxtAe可得,沿+x方向运动的自由粒子波函数为：2()0(,)xitΨxtΨe-Ψ()0iEtpxe)](2cos[=xtAy--(-)0(,)ΨiEtprrte通常写成：tEirpieetr0),(tEier)(rpier0)(在三维空间中运动的自由粒子波函数：──空间波函数19/553.波函数遵从态叠加原理如果1，2……n等，都是微观粒子体系的可能的状态，那么他们的线性叠加状态iinncccc2211也是体系的一个可能的状态。量子力学基本原理之二。1）子弹穿过双缝只开上缝1，屏上概率分布P1只开下缝2，屏上概率分布P2双缝齐开，屏上概率分布P12=P1+P220/552）电子双缝衍射只开下缝,只开上缝,211||ΨP222||ΨP双缝齐开,电子可通过上缝也可通过下缝,根据态叠加原理，其波函数为电子波函数，在屏上概率分布为1电子波函数，在屏上概率分布为2221112ΨcΨcΨ2212121122||||PΨcΨcΨ电子在屏上出现的概率为出现了干涉图样！微观粒子是波函数的叠加，而不是概率的叠加。21/553.波函数的标准条件2)波函数的有限性粒子在空间某处出现的概率不能无限大1)波函数的单值性任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值概率不能在某处发生突变3)波函数的连续性波函数的归一性：由波函数统计解释，在全空间各点的概率总和必须为11,2dVtr──归一化条件注意波函数可以允许包含一个任意的常数因子trΨ,trCΨ,和描写同一个概率波因为对于概率分布来讲，重要的是相对概率分布。22/55例：作一维运动的粒子被束缚在0xa的范围内，已知其波函数为axAxsin求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大？解：(1)由归一化条件1sin0222adxaxAdx解得aA2(2)粒子的概率密度为axa22sin2在0到a/2区域内出现的概率21sin22/022/02dxaxadxaa(3)概率最大的位置应该满足2222sin0dxdxaa(0,)2axax23/5525.2不确定关系经典力学中，粒子所在力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。因此可用轨道来描述粒子的运动。微观粒子，具有显著的波动性，我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。以电子束单缝衍射为例.........2sina只计中央明纹区,角宽度一、位置和动量的不确定关系24/550xp正中1sinxpp沿hpxx位置不确定量：ax不确定量动量xpppypx1电子如何进入中央明纹区的？1sinxpphhaa考虑次级极大：1sin/xpphaxxph1927年,海森伯提出位置和动量的不确定关系一个微观粒子不能同时具有确定的坐标和动量2ΔΔqpΔΔ,ΔΔ,ΔΔ222xyzpxpypz1932年NobelPrizeh经典和量子的分水岭25/550;,xpxx位置完全确定xp动量分量完全不确定粒子向何方运动？“轨道”概念失去意义0;,xxpxp动量完全确定x位置完全不确定粒子在何处？说明：1）微观粒子运动过程中，其坐标的确定程度与该方向上动量分量的确定程度相互制约/2xxp26/5524220EmCPC设有一个速度为V，质量为m的粒子，其能量考虑到E的增量：222422022CPPCmVPEEmCPCVPxPt/2Etxp2tE能量与时间不确定关系式即：光谱研究证实了这一点宽度越小的能级越稳定二、能量与时间不确定关系注意：不确定关系不是实验误差，不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。27/551smkg2vmp解：子弹的动量例1一颗质量为10g的子弹，具有的速率.若其动量的不确定范围为动量的则该子弹位置的不确定量范围为多大?1sm200%01.014smkg102%01.0pp动量的不确定范围m103.3m1021063.630434phx位置的不确定量范围例：氦氖激光器发光的波长632.8nm,谱线宽度,求光子沿运动方向的位置不确定量.910nmnm109λΔΔ2hphp得：||||π42Δ2pxm102310π410863241829.).(解：28/5524.3薛定谔方程一、问题的引入量子力学基本原理之三：微观粒子体系的波函数ψ满足薛定谔方程。宏观物体：轨道(运动状态)，牛顿运动方程，基于实验事实微观粒子：波函数，状态随时间的变化遵循的规律？1926年，薛定谔提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。对于波，应该有一个波方程！29/55建立薛定谔方程的主要依据和思路：•要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式phhE/,/•对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子非相对论能量为2(,)2pEUrtm•若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是某粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。波函数应遵从线性方程30/55动量为p、质量为m、能量为E的自由粒子，沿x