量子力学讲义(修订)

第一部分：经典物理学所遇到的困难1、黑体辐射1）热辐射：在一定温度下任何物体都能以电磁波形式向外辐射能量，这种依赖物体温度的辐射叫热辐射2）黑体：如果一具物体能够吸收入射到它上面的全部电磁波而不反射电磁波，那么这种物体就叫做黑体，黑体是一个理想模型，如一个空腔只开一个很小的口，从入口中射入的电磁波在空腔中反复反射，我们认为最终会将所有的电磁波吸收，很少有机会从反射出来。如下图所示当达到热平衡时，也就是说，黑体空腔内的温度与壁的温度一致时，空腔内的辐射的能量分布只与温度有关，关于黑体辐射的几个公式1）维恩公式维恩从分析实验数据得到的经验公式为：处于频率vvdv间的能量为：2/31()cvTEvdvcvedv（1）其中12,cc为经验参数，除了低频率部分，维恩公式实验结果符合很很好。2）瑞利-金斯公式处于频率vvdv间的能量为：238()EvdvkTvdvc（2）其中c为光速，k为玻耳兹曼常量，此公式在低频部分与实验曲线符合得很好，但是在高频部分是发散的，与实验明显不符，称之为紫外灾难。3）普朗克公式普朗克总结了分析了上述两个公式，发现上述两个公式可以用一个公式来总结，这就是普朗克公式，与实验结果符合非常好。231/()1cvkTcvEvdvdve（3）不难看出，在高频段，v，此公式趋向于维恩公式，这是因为当v，22//1cvkTcvkTee，所以有223/311/()1cvkTcvkTcvEvdvdvcvedve在低频段，也就是0v时，趋向于瑞利-金斯公式，这是因为当0v时，2/21/cvkTecvkT，所以有3221122()1/1cvcEvdvdvkTvdvckTvdvcvkTc普朗克首先是从数学上发现了这一公式，他觉得非常呀，他认为这里面一定有不为人知的物理原因，经过几个月的思考，最后他得出的结论是，如果承认能量是分散的，也就是辐射能是一份份的，就可以推导出上述公式，于是普朗克得到了能量量子化的结论，这和经典的物理思想是格格不入的，因为经典的电磁理论认为，辐射能是连续的。普朗克引进了能量量子化的概念，他认为物体吸收和发射电磁波只能以量子的方式进行，每一份能量为Ehv。2、光电效应经典理论（牛顿力学与电磁理论）遇到的另一个难题是光电效应，电子吸收光子而发生逸出，它呈出来的规律为（1）对于一定金属，存在着一个最低的频率，低于这个频率，无论入射光有多强，都不会观察到光电子的逸出。（2）光电子的最大的逸出速率与频率有关而与强无关。这两点经典电磁理论无法解释，因为电磁理论认为，光的能量与光强有关而与频率无关，因此，不会存在一个最低的频率，而打不出光电子，光电子的最大动能应与光强有关，而与频率无关，爱因斯坦首先应用普朗克的理论完美的解释了光电理论212mvhvA212mv为光电子的动能，hv为一份入射光子的能量，电子脱离金属表面所做的功，称之为表面逸出功，与金属种类有关。爱因斯坦因光电效应公式而获得诺贝尔物理学奖，其实这只是他对物理学做出的贡献的很少的一部分。3、原子的稳定问题卢瑟福原子核模型表明，原子为一个带正电的原子核和带负电的电子围绕着它转动，这个模型有一个问题，按照经典电磁理论，一个电子围绕着原子核做圆周运动，它必然会辐射电磁波，电磁波的能量只能来自电子的动能，因此电子的速度会减少，而最终会掉到原子核上，原子会发生塌缩，原子很大，原子核很小，因此我们应观察到物质会消失掉，但我们从来没有观测到这样的事情发生，所以原子稳定的存在难以用经典的理论解释。第二部分：量子力学的基本概念1、三维向量空间向量：有大小有方向的量称之为向量（矢量），如三维空间的向量。向量空间：全部向量的集合构成了向量空间。如三维空间的全体向量构成了三维空间的向量空间。正交归一基：在三维空间中选择三个两两相互正交的基记作{,,}ijk，则任何向量可以表示为,,,rxiyjzkxiryjrzkr，称之为三维向量空间的一种表示，记作xyz，当然我们也可以选择另一组两两相互正交的基'''{,,}ijk，r向量可以表示为'''xyz两个向量加减仍为向量空间的一个向量12,rr在基{,,}ijk分另表示为111xyz，222xyz，则有12rr表示为121212xxyyzz，cr表示为111cxcycz对于n维向量空间，我们总可以找到n个两两正交的单位向量构成了正交归一的基12{,,...,}neee，任何向量r表示为12...n其中i为r在ie上的投影。2、复数向量空间向量的系数可以为复数，这样的复数向量构成了复数向量空间。由于描述粒子状态的量子态有方向，有大小，而且会发生干涉，因此可以用复数向量来描述。我们把可以把它记作狄拉克符号空间的态矢a。以二维复数向量空间为例，所有的二维的复数向量构成了二维复数向量空间，在复数向量空间中我们总可以找到二个两两正交的单位向量，构成了一组正交归一基，a可以分解为12a，其中1a表示a在上的投影。态矢a可以表示为12，存在着右矢空间，就必然有共轭的复数向量空间，称之为左矢空间，右矢空间有右矢a，在左矢空间就有应的左矢a，与a互为共轭向量。左矢a表示为**12，则有相应的对应1**122;aa运算规则11112222abc11'22ccaacc，c为一复数；'*'caaaca，1****122ccccabcabc，********12121122(,)向量的内积向量a与b的内积记为1**122ab或者1**122ba，可知*abbaab称之为a左乘b下面讨论二维复数向量的表示对于自旋，我们可以用，或u表示自旋沿z轴向上，相应的本征值为1z，同样，我们可以用，或d表示自旋沿z轴向上，相应的本征值为1z，为了方便其间，我们这里统一用｛u，d｝作用基来表示自旋沿z轴向上和向下，这是一组正交归一完备基，也就说满足以下条件0,1uduudd且这个向量空间的任何向量都可以表示为uu其中2*表示测量时u态出现的几率，2*表示测量时d态出现的几率，由于几率的归一化原因，因此需要221同样我们可以用｛l，r｝分别表示自旋沿y轴向左和向右的量子态矢，这也构成了另一组正交归一基，那么如何用｛u，d｝表示l和r呢？前面讲过的实验表明，如果处于沿x轴向左和向右的量子态矢｛l，r｝，则测到1,1zz的几率均为12，所以最简单的写法应该是1111,2222rudrud易证明，它们也是正交归一完备基。同样我们可以用｛o，i｝分别表示自旋沿z轴向外和向里的量子态矢可以表示为11,2222iioudiud容易证明，这也是一组正交归一的完备基。并且可以写成也就是说，当粒子自旋方向指向x轴的正方向时，测得粒子处于l的几率为21122i，（把仪器指向左边）测得粒子处于r的几率为21122i。（把仪器指向右边）n维任意态矢A在一组正交归一基{1,2,...,,...}in上的表示1niiAi，其中iiA，将其代入可以得到11nniiAiAiiiA，所以有11niii为单位算符。同样有*11nniiiAiAii3、线性算符线性算符好比一台机器，有两个接口，一个入口，一个出口，把一个向量从入口输入，开动机器，把一个向量输出。记作ˆMABM为线性算符：这表示ˆˆˆ())MABMAMBˆMzAzMA，z是复数。算符在基{1,2,...,,...}in上的表示1111,2222iiiiolrilriijjijijjijiMAiBiMjjAiMjM写成矩阵的形式为1112112122223.........MMMM†AMMAAMB可以表示三个矩阵相乘，1112121222**12............MMMM厄米算符：†MM的算符叫厄米算符†M矩阵为M的转置再对每一个元素取复共轭。例如：11iMi，*†*()1111TiiiiMM一般说来，†MM，但有些矩阵，如11ii满足†MM条件，我们把这种矩阵叫厄米矩阵，对应的算符称之为厄米算符算符M为厄米算符的条件：†'?'†''*†,AMMAiiMMiiiMjijjMijiiMjjMi如果†MM，则有**ijjiiMjjMiMM厄米算符对应着可观测量，如动量，坐标，能量，角动量，自旋等。4、本征态，本征值一般来说ˆMAB，A与B的方向不一样，A与B不是同一量子态，但也有特殊的态矢I，满足，ˆIIIM，M作用后，态矢的方向没有发生改变，只是长度发生了变化。如三维的转动，总一个方向不会发生变化。如果算符M满足ˆIIIM，那么我们称态矢I为算符M的一个本征态，I为与本征态矢I相对应的本征值。定理1：厄米算符的本征值为实数证明，设I为算符M的一个本征态，I为相应的本征值，则有ˆIIIM（1）对上式取复共轭则有†*IIIM（2）（1）式左乘I得到ˆIIIIIIM（3）（2）式右乘I得到†**IIIIIIM（4）如果M为厄米算符，则有†MM，所以有*II定理2：厄米算符的不同本征值对应的本征态正交证明：设,IJ为算符M的两个本征态，,IJ为对应的本征值，且IJ，所以有IMII（1）JMJJ对上式取复共轭则得到†*JJJJMJJJMJ（2）（1）式左乘I减去（2）式右乘I得到0()0IJIJJMIJMIJIJIIJ因为IJ，所以有0IJ算符的平均值：一算符L在任意量子态上的平均值为ˆL，记作ˆLL，将用L的本征态矢构成的正交归一基i进行展开，其中ˆiLiiiici2**,ˆijjiiiiiijiiLLcclijcclcl，等于相应的几率乘以本征值5、量子力学的几个基本假设（1）物理上能够观测的量都是可观测量，可观测量都是用厄米算符描述（2）可观测的值为相应本征态的本征值（3）物理上可以区分的态一定正交（4）对于一般归一的态A，可观测量为M，设IMII，对量子态A测量M的值为I的概率为2IA（5）当你测量量子态A中的M量，测得的结果为I时，就把系统的量子态准备到一个确定的态I，（与本征值I相对应本征态）如iiiAC，i为i的本征值，如果系统的测量的结果为i，则系统量子态由iA（6）一个量子系统中的两个态的内积不随时间而改变设有两个量子态矢,，有一时间演化算符()Ut，满足()()(0),()()(0)tUttUt，则有†()((0)()()(0)(0)(0ttUtUt从中可以得到†()()UtUtI时间演化算符()Ut满足上述条件，所以称之为幺正算符。设演变的时间为一个无穷小量，则对()U进行级数展开，可以得到()1UiH，取互共轭得到††()1UiH††††ˆˆˆˆ()()(1)(1)1()1UUiHiHiHHHH时间算符()Ut的幺正性可以生成一个与能