高一不等式

第三章不等式3.1不等关系与不等式1、定义：用不等号（,,≠,≤,≥）表示不等关系的式子叫做不等式。2、实数特征与大小比较：任意实数的平方都不小于0；任意两个实数都可以比较大小。3、不等式的性质：1）对称性：abba；2）传递性：ab，bcac；3）可加性：aba+cb+c;4）可乘性：ab，c0acbc;5）同向可加性：ab,cda+cb+d；6）ab0,cd0acbd7）ab0,n∈Nnnba;8）开方性质：ab0,n∈Nnnba例题：1、若_________)()(,12)(,13)(22的大小关系是与则xgxfxxxgxxxf2、对于实数a,b,c，有下列命题：若ab,则acbc;若22bcac，则ab；若ab0，则22baba；④若cab0则bcbaca；⑤若ab,ba11，则a0,b0.其中真命题的个数有（）A、2B、3C、4D、53.2一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac000二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程20axbxc0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根一元二次不等式的解集20axbxc0a12xxxxx或2bxxaR20axbxc0a12xxxx3、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02acbxax，对应方程02cbxax有两个不等实根1x和2x，且21xx，则不等式的解为：1xx或2xx（两根之外）②设不等式)0(02acbxax，对应方程02cbxax有两个不等实根1x和2x，且21xx，则不等式的解为：21xxx（两根之内）说明：①若不等式)0(02或cbxax中，a0,可在不等式两边乘1转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行4、分式不等式的解法○1标准化：移项通分化为)()(xgxf0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf≥0(或)()(xgxf≤0)的形式，○2转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf且例题1、一元二次不等式：03222xx的解集中必含有元素（）-1B、1C、33-1D、331例题2、解下列不等式.0144)4(;032)3(;096)2(;062)1(2222xxxxxxxx例题3、已知不等式02cbxax的解集为（2,3），则不等式0c2abxx的解集为__________例题4、解关于x的不等式01)1(2xaax例题5、解不等式（1）042xx（2）073xx例题6、若)3,0(内的每一个数都是不等式0122mxx的解，求m的取值范围例题7、设函数1)(2mxmxxf。若对于一切实数x,f(x)0恆成立，求m的取值范围。3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．3、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对,xy，所有这样的有序数对,xy构成的集合4、二元一次不等式表示的平面区域（1）一般地，在平面直角坐标系中二元一次不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界。不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。（2）二元一次不等式所表示平面区域的判断对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它们的坐标（x,y）代入Ax+By+C，所得的符号相同，因此只需在直线Ax+By+C=0的同一侧取某个特殊点作为测试点，就可判定不等式Ax+By+C0表示的是哪一侧的平面区域。（3）步骤：一、以线定界；二、以点定域；三、用阴影表示出平面区域。（4）不等式组的平面区域：各个不等式表示的平面区域的公共部分例题1、某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱货物的体积、质量、可获利润和一个集装箱的托运能力限制数据列在下表中，请用数学关系式表示下述限制条件。例题2、判断原点是否在2x-3y+5≤0所表示的平面区域内，并画出其表示的平面区域。例题3、画出下列不等式（组）所表示的平面区域。（1）y≤-2x+3（2）yxxy21（3）02325yxyxyx5、简单的线性规划线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式．线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解,xy．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．6、线性规划问题的图解法：画图，平移，求值。例题4、（1）已知x、y满足约束条件5003xyxyx，则24zxy的最小值是（）A．5B．6C．10D．10（2）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件51122239211xyxyx，则1010zxy的最大值是（）A．80B．85C．90D．95（3）若01x，02y，且21yx，则224zyx的最小值是（）A．2B．3C．4D．5（4）已知非负实数x，y满足2380xy且3270xy，则xy的最大值是（）A．73B．83C．2D．3（5）已知x、y满足约束条件4335251xyxyx，分别确定x、y的值，使2zxy取得最大值和最小值．例题5、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.例题6、某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过金工和装配两个车间加工，有关数据如下表：加工时间/（h/件）产品总有效工时/h甲乙车间金工43480装配25500利润/（元/件）300520试问：加工这两种产品各多少件，才能使工厂获得的利润最大？3.4基本不等式：2baab1、重要不等式：abba222：一般地，对于任意实数a,b，都有abba222，当且仅当a=b时等号成立。2、基本不等式（1）设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．（2）均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab．（3）常用的基本不等式：①222,abababR；②22,2abababR；③20,02ababab；④222,22abababR．3、利用基本不等式求最值。（1）最值定理：已知x,y为正实数。如果积xy为定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值P2；如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值241S（2）利用基本不等式求最值必须同时满足三个条件才可以进行，即“一正（所求最值的各项必须都是正值），二定（含变量的各项的和或者积必须是常数），三相等（具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值）”例题1、若0a1,0b1，且a≠b，则a+b,2ab,abba2,22中最大的一个是_____________2、若x0，则xxxf312)(的最小值为_____________；若x0，则xxxf312)(的最大值为_________3、函数)3(31xxxy的最小值为_________4、函数xxxf1)(的值域是（）A、[2,+∞)B、（2，+∞）C、RD、（-∞,-2]∪[2,+∞)5、已知a2,求证：1)1(log)1(logaaaa6、已知x,y为正实数，且x+4y=1,则xy的最大值为__________，yx11的最小值为__________7、已知a0,b0,a+b=2，则bay41的最小值是____________